2．1圆周角定理1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着__________，它们才有上面定理中所说的数量关系．2．圆心角定理：圆心角的度数________它所对弧的度数．3．圆周角定理的推论．推论1：同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周角所对的弦是________．4．如图，在⊙O中，∠A＝α，则∠OBC＝____________．预习导学1．一半同一条弧2．等于3．相等也相等直角直径4.－α►一层练习1．下列命题中，真命题的个数是()①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弦也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个1．A2．已知点O是△ABC的外心，∠A＝α，则∠BOC为()A．2αB．360°－2αC．2α或360°－2αD．180°－2α2.C3．在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB等于________．3.120°14．如图所示，⊙O直径MN⊥AB于点P，∠BMN＝30°，则∠AON＝________．4．解析：连BO，则AO＝BO，即∠OAB＝∠OBA，又MN⊥AB，则∠AON＝∠NOB＝2∠BMN＝60°.答案：60°►二层练习5．如图所示，若圆内接四边形的对角线交于点E，则图中相似三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对5．B6．如图所示，点D是AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是()A．7个B．3个C．2个2D．1个6.B7．已知点C、D是以AB为直径的圆弧上的两点，若BC所对的圆周角为25°，AD所对的圆周角为35°，则DC所对的圆周角为()A．30°B．40°C．30°或80°D．80°7．解析：若C、D在AB同侧，则DC所对圆周角为30°，若C、D在AB异侧，则所对圆周角为80°.答案：C8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝2，则此三角形外接圆半径为()A.B．2C．2D．48．解析：易推得斜边AB为外接圆直径．答案：B►三层练习9．半径为4的圆上一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角是________．9．180°10．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．10.8π11．如图所示，若AD＋BC＝AB＋CD，且∠ADB＝30°，则CD的度数是________．11.120°12．如下图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2，则PE＝____．312．解析：PE∥BC，则∠PED＝∠C.又同弧BD所对的角∠C及∠A相等，则∠PED＝∠A.易推△PED∽△PAE，即＝.PE＝＝.答案：13．如图，已知圆O内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD＝3，CE＝7，BC＝5，则线段BE＝________．13．解析：∠ACE＝∠BCE，∠ABE＝∠ACE，则∠ABE＝∠BCE，易得△BDE∽△CBE，＝，即BE＝.答案：14．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.14．证明：如图，连接OD，4∵BD＝DC，O为AB的中点，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.∴∠B＝∠C.∵点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，∴∠E和∠B为同弧所对的圆周角．故∠E＝∠B，∴∠E＝∠C.1．圆周角定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．2．圆周角定理、圆心角定理及推论，给出了圆心角、圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用于求角、弦、弦长等有关问题，可推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法．3．应用定理及推论进行计算或证明时，要注意应用数形结合的数学思想方法，确定点、线的位置关系时，要注意应用分类讨论的数学思想．【习题2.1】1．证明：如图所示，设AO的延长线与⊙O相交于E，则AE是⊙O的直径．连接DO，BE.∵AO是⊙C的直径，AE是⊙O的直径，∴∠ADO＝∠ABE＝90°，∴DO∥BE.又∵O是AE的中点，∴AD＝BD，即点D是AB的中点．2．解析：如图所示，连接BC，AC.∵AB是圆的直径，∴∠ACB是直角．由射影定理得CD2＝AD·BD，∴62＝AD(13－AD)＝13AD－AD2，解得AD＝4或AD＝9.3．证明：如图所示，连接AB，AC.∵AB＝AF，∴∠ABE＝∠ACD.又∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°－∠DAC.又∵AD⊥BC，∴∠ACD＝90°－∠DAC，∴∠ABE＝∠BAE，即△ABE是等腰三角形，∴AE＝BE.56
