题组层级快练(五十二)1．若过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－C．－4D．－答案D解析由y＝2x2，得x2＝y.其焦点坐标为F(0，)，取直线y＝，则其与y＝2x2交于A(－，)，B(，)，∴x1x2＝(－)·()＝－.2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为()A．3B．2C.D.答案C解析设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.∴|AB|＝·＝.3．已知双曲线x2－＝1，过点A(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1答案A解析①斜率不存在时，方程为x＝1符合．②设斜率为k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0.(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0，k＝±2时符合；当4－k2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．4．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y＝2x＋1交于P、Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为()A．y2＝－4xB．y2＝12xC．y2＝－4x或y2＝12xD．以上都不对答案C解析由题意设抛物线的方程为y2＝2px，联立方程得消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·＝，所以＝，p2－4p－12＝0，p＝－2或6，所以y2＝－4x或y2＝12x.5．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，那么m的值等于()A.B.C．2D．3答案A解析因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x12，y2＝2x22，两式相减，得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x10)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案B解析F(，0)，ABy＝x－，y2－2py－p2＝0，yA＋yB＝2p＝4，∴p＝2，准线x＝－＝－1.7．(2016·杭州二中质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于()A．5B．6C．3D．7答案D解析把点A的坐标(1，2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，由消去y，得x2－5x＋4＝0，则xA＋xB＝5.由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8答案C解析由抛物线的定义知|AF|＝|AK|，又 ∠KAF等于直线AF的倾斜角，∴∠KAF＝60°，∴△AFK是正三角形．联立方程组消去y，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝.由题意得A(3，2)，则△AKF的边长为4，面积为×42＝4.9．(2016·东北三校)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足AF·BF＝0，则直线AB的斜率k＝()A.B.C.D.答案B解析依题意，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入抛物线方程y2＝4x并整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为AF·BF＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0.把代入并整理，得k2＝.又k>0，所以k＝，故选B.10．抛物线x2＝y在第一象限内图像上一点(ai，2ai2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2＋a4＋a6＝()A．64B．42C．32D．21答案B解析抛物线x2＝y，即y＝2x2，y′＝4x.图像上一点(ai，2ai2)处的切线方程为y－2ai2＝4ai(x－ai)，将(ai＋1，0)代入得－2ai2＝4ai·(ai＋1－ai)，∴ai＋1＝ai，∴{ai}是以为公比的等比数列，由a2＝32，得a4＝8，a6＝2，∴a2＋a4＋a6＝42.11．已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的...
