第三讲概率与统计1．(2019·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．解析：(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)＝＝0.35，P(B)＝＝0.45，P(C)＝＝0.2，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P＝1－[P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C)]＝0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X＝2)＝P(A)P(A)＝0.35×0.35＝0.1225，P(X＝3)＝P(A)P(B)＋P(B)P(A)＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P(X＝4)＝P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.3425，P(X＝5)＝P(B)P(C)＋P(C)P(B)＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18，P(X＝6)＝P(C)P(C)＝0.2×0.2＝0.04.∴X的分布列为X23456P0.12250.3150.34250.180.04E(X)＝0.1225×2＋0.315×3＋0.3425×4＋0.18×5＋0.04×6＝3.7.2．(2019·山西八校联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：年份2012201320142015201620172018广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b.参考数据：≈2.24.解析：(1) ＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708，∴b＝＝＝0.17，a＝－b＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y关于x的线性回归方程为y＝0.17x＋2.84.(2) 0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用y＝1.63＋0.99更好．(3)由(2)知，①当x＝20时，销售量的预报值y＝1.63＋0.99≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×6.07－20≈1193.04(万元)．②z＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326＝－()2＋198＋326＝－(－99)2＋10127，∴当＝99，即x＝9801时，利润的预报值最大，故广告费为9801万元时，利润的预报值最大．3．(2019·湖南郴州模拟)某公司想了解对某产品投入的宣传费用对该产品的营业额的影响．下面是以往公司对该产品的宣传费用x(单位：万元)和产品营业额y(单位：万元)的统计折线图．(1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x与产品营业额y的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立产品营业额y关于宣传费用x的回归方程；(3)若某段时间内产品利润z与宣传费用x和营业额y的关系为z＝x(y－1.01x－0.09)＋50，应投入宣传费用多少万元才能使利润最大？并求最大利润．参考数据：i＝37.28，iyi＝160.68，＝2.2，≈2.65.参考公式：相关系数r＝＝，回归方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝＝，a＝－b.解析：(1)由折线图中数据和参考数据得＝4，(xi－)2＝28，r＝≈0.99，因为y与x的相关系数近似为0.99，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(2)因为＝≈5.33，b＝≈0.41，a≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y关于x的回归方程为y＝0.41x＋3.69.(3)由z＝x(y－1.01x－0.09)＋50＝－0.6x2＋3.6x＋50，可得x＝3时，zmax＝55.4.所以...
