第八节离散型随机变量的均值与方差☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。2016，全国卷Ⅰ，19,12分(随机变量的分布列、均值)2016，山东卷，19,12分(随机变量的分布列、均值)2015，安徽卷，17,12分(条件概率、分布列、均值)2014，陕西卷，19,12分(二项分布)1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题；2.题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力。微知识小题练自|主|排|查1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差。2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)。3．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)微点提醒1．均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态。2．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。3．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－3P64练习T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝()A.B．2C.D．3【解析】E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝。故选A。【答案】A2．(选修2－3P69B组T1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________。【解析】抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B，E(X)＝10×＝。【答案】二、双基查验1．已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1【解析】E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝。故选A。【答案】A2．(2017·洛阳模拟)一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为()A.B.C．1D．2【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4，其中P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1。故选C。【答案】C3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400【解析】记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0.1)∴E(ξ)＝1000×0.1＝100。又X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)，2E(ξ)＝200。故选B。【答案】B4．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________。【解析】设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2×＝1，解得p＝，故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝。【答案】5．(2016·兰州一中模拟)若随机变量ξ～B，则D(3ξ＋2)＝________.【解析】 随机变量ξ～B，∴D(ξ)＝5××＝，∴D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝10。【答案】10微考点大课堂考点一与超几何分布有关的均值与方差【典例1】某公司电脑专业技术人员对该公司A，B两个办公室的50台电脑进行报废检查，其中A办公室的电脑占60%，B办公室的电脑占40%，A办公室电脑的报废率为10%，B办公室电脑的报废率为20%。(1)若从这50台电脑中随机抽取1台(每台电脑被抽到的机会相等...
