（浙江专版）高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第8节 曲线与方程教师用书-人教版高三全册数学试题VIP免费

第八节曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．()[解析]由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线D[由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]3．(2016·广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4xA[设点P(x，y)，则Q(x，－1)． QP·QF＝FP·FQ，1∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.故选A.]4．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)[设A(x，y)，则D∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]5．(2017·杭州模拟)在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2，则顶点A的轨迹方程为__________.【导学号：51062302】－＝1(x>)[以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝2，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，所以轨迹方程为－＝1(x>)．]直接法求轨迹方程已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．[解]如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|.2分当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝.6分又|O1A|＝，∴＝，化简得，y2＝8x(x≠0).10分2当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.15分[规律方法]1.如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．2．运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．[变式训练1]已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．[解]设点P(x，y)，则MP＝(x＋1，y)，NP＝(x－1，y)，MN＝(2,0).4分故MP·MN＝2(x＋1)，PM·PN＝MP·NP＝(x＋1)×(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，NM·NP＝－2(x－1)＝2(1－x).8分因为MP·MN，PM·PN，NM·NP成公差小于零的等差数列，所以2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x).12分且NM·NP－MP·MN＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x<0，整理得，x2＋y2＝3(x>0)，故点P的轨迹方程为x2＋...