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高中数学 第四章 数列 4.4 数学归纳法课时分层作业(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题VIP免费

高中数学 第四章 数列 4.4 数学归纳法课时分层作业(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题_第1页
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课时分层作业(十一)数学归纳法(建议用时:40分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明1+++…+1)时,第一步应验证不等式()A.1+<2B.1++<2C.1++<3D.1+++<3B[因为n∈N*,n>1,故第一步应验证n=2的情况,即1++<2.故选B.]2.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上()A.B.-C.-D.+C[因为当n=k时,左端=1-+-+…+-,当n=k+1时,左端=1-+-+…+-+-.所以,左端应在n=k的基础上加上-.]3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则()A.该命题对于n>2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对B[由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时命题成立故对所有的正偶数都成立.]4.利用数学归纳法证明1++++…+时,f(2k+1)-f(2k)=________.++…+[因为假设n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-(1+++…+)=++…+.]三、解答题9.(1)用数学归纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*);(2)用数学归纳法证明:1+++…+<2(n∈N*).[证明](1)①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边.②假设n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=,那么当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4)=,即当n=k+1时,等式成立.综上,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*).(2)①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,故当n=1时不等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1+++…+<2,那么当n=k+1时,左边=1+++…++<2+,因为4k2+4k<4k2+4k+1,所以2<2k+1,2所以2+==<=2.故当n=k+1时,不等式也成立.综上,由①②可知1+++…+<2.10.已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*).用数学归纳法证明:an0,所以,当n=k+1时,不等式成立.综上所述,不等式an

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