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高中数学 第四章 数列 4.4 数学归纳法课时分层作业（含解析）新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题VIP免费

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课时分层作业(十一)数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式()A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3B[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.]2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．B．－C．－D．＋C[因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.]3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对B[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立故对所有的正偶数都成立．]4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.＋＋…＋[因为假设n＝k时，f(2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f(2k＋1)－f(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋.]三、解答题9．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)；(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．[证明](1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)．(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2<2k＋1，2所以2＋＝＝<＝2.故当n＝k＋1时，不等式也成立．综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.10．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an
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