学业分层测评(十三)平摆线与圆的渐开线(建议用时：45分钟)[学业达标]1．求平摆线(0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．【解】由题意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1，∴t＝2kπ＋(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝.∴x＝－1.∴交点的直角坐标为(－1,1)．2．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.3．已知摆线的生成圆的直径为80mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】因为摆线的生成圆的半径r＝40mm，所以此摆线的参数方程为它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．4．抛物线y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】抛物线方程可化为(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)，所以其顶点的参数方程为普通方程为＋＝1.5．已知椭圆(θ为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程．【解】F1(－3,0)、F2(3,0)，设P(5cosθ，4sinθ)、G(x，y)，所以G的轨迹方程为(θ为参数，sinθ≠0)．6．如图449，已知半圆x2＋y2＝1(y≥0)，定点A(－2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图449【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)，则B(cosθ，sinθ)，AB＝(cosθ＋2，sinθ)，AD＝(x0＋2，y0)．由AB⊥AD且|AB|＝|AD|，得解得因为P是BD的中点，所以(0≤θ≤π)．消去θ，得点P的轨迹方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝(－≤x≤－，≤y≤)，它表示以(－1,1)为圆心，为半径的半圆的一部分．7．如图4410所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单1位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4410【解】当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sinα，2cosα)，BM＝(－2sinα，－2cosα)，因此OM＝OB＋BM＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．动点M的坐标为(x，y)，向量OM＝(x，y)，所以这就是所求摆线的参数方程．[能力提升]8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得OA＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，AM＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得OM＝OA＋AM＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝(4(cosθ＋θsinθ)，4(sinθ－θcosθ))．又OM＝(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程．2
