重难增分训练（三）数列的综合问题1．已知函数f(x)＝x＋sinx，项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0
若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0
解析：因为函数f(x)＝x＋sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点，而等差数列{an}有19项，an∈，若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)＝0，所以k＝10
答案：102
如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2
过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________
解析：法一(直接递推归纳)：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝
法二(求通项)：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝
答案：3．已知数列{bn}的通项公式为bn＝3×n－1＋，Tn为{bn}的前n项和．若对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，则实数k的取值范围为________．解析：因为bn＝3×n－1＋，所以Tn＝3·＋＝＋＝6＋
因为不等式≥2n－7，化简得k≥对任意n∈N*恒成立．设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝
当n≥5时，cn＋1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤ncn，{cn}为单调递增数列，＝c4an，所以数列{an}单调递增且各项均为正数，所以＋＋…＋＝－1，所以＝1
答案：(1)1(2)15．已知函数fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋
