3．1.2空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算．(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个______，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向______λa的模是a的模的_____λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向______(3)空间向量的数乘运算律．设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.2．共线向量与共面向量.共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线___________，则这些向量叫做______或平行向量平行于__________的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，其中a叫做直线l的________，如图所示．若在l上取AB＝a，则OP＝__________.如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB，或对空间任意一点O来说，有OP＝______________________.想一想：1.当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线一定是同一条直线吗？2．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？基础梳理1．(1)向量(2)相同相反|λ|倍12．互相平行或重合共线向量同一个平面方向向量OA＋tABOM＋xMA＋yMB想一想：1.不一定，也可能是两条平行直线．2．解析：四点共面． x＋y＋z＝1，∴x＝1－y－z，又 OP＝xOA＋yOB＋zOC，∴OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC，∴OP－OA＝y(OB－OA)＋z(OC－OA)，∴AP＝yAB＋zAC，∴点P与点A，B，C共面．1．直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c2．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则OC等于()A．2OA－OBB．－OA＋2OBC.OA－OBD．－OA－OB3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若E为矩形ABCD对角线交点，则A1E＝A1A＋xA1B1＋yA1D1中的x，y值应为x＝________，y＝________．自测自评1．D2．解析： 2AC＋CB＝0，∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＝2OA－OB.答案：A3．解析：A1E＝A1A＋AE＝A1A＋(AB＋AD)＝A1A＋(A1D1＋A1B1)，∴x＝y＝.答案：1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个1．解析：根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．答案：A2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．1B．0C．3D.2．解析： OM＝xOA＋OB＋OC，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝，故选D.2答案：D3．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP的为()A.OA＋2AB＋2ACB.OA－3AB－2ACC.OA＋3AB－2ACD.OA＋2AB－3AC3．解析：根据A，B，C，P四点共面的条件可知AP＝xAB＋yAC.由图知x＝3，y＝－2，∴OP＝OA＋3AB－2AC，故选C.答案：C4．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝a，OB＝b，则BC＝________________．4．解析：BC＝BO＋OC＝BO－OA＝－b－a.答案：－b－a5．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是()A．共面B．不共面C．共线D．无法确定5．解析：由加法法则知，a＋b与a－b可以是菱形的对角线．答案：A6．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，则OG＝xOA＋yOB＋zOC，则()A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝3C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝6．解析： OG＝OM＋MG＝OA＋MG，①OG＝OC＋CN＋NG，②OG＝OB＋BN＋NG，③又BN＝－CN，MG＝－2NG，∴①＋②＋③，得3OG＝OA＋OB＋OC，即x＝，y＝，z＝.答案：D7．已知O...
