2.1.1合情推理A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3答案A解析∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.2．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(2019)等于()A．13B．2C.D.答案C解析∵f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，∴f(3)＝＝，f(5)＝＝2，f(7)＝＝，f(9)＝＝2，…，∴f(2019)＝.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案C解析类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形．4．下面使用类比推理，得出正确结论的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”答案C1解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1答案A解析因为在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝()A．4B.C．2D.答案D解析将已知式变形，则有＝＝＝tan，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan＝时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.答案＋<2(a>0，b>0且a≠b，a＋b＝20)解析观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.答案b4＋b8>b5＋b7解析在等差数列{an}中，an>0，公差d>0，∴{an}是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a4·a6>a3·a7，∴在等比数列{bn}中，bn>0，q>1，则{bn}为各项均为正数的递增数列．又∵4＋8＝5＋7，∴b4＋b8>b5＋b7.9．观察下列等式：－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；…照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.答案n(n＋1)解析每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为n(n＋1)．三、解答题10．已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．2解(1)当n＝1时，a1＝1，由an＋1＝(n∈N*)，得a2＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.(2)由a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，可归纳猜想an＝(n∈N*)．B级：能力提升练11．过△ABC边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，与BC，AC分别交于点A1，B1，则＋为定值1.试写出类比到空间的结论．解如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC的面ABC上任一点O，分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，其中A1，B1，C1分别是所作直线与侧面的交点，则＋＋为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝＝＝.34
