课时限时检测(六十九)数学归纳法及其应用(时间:60分钟满分:80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【答案】C2.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【答案】D3.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是()A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立【答案】D4.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上()A.B.-C.-D.+【答案】C5.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【答案】C6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为()A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a、b、c【答案】A二、填空题(每小题5分,共15分)7.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是________.【答案】1++8.设f(n)=1++++…+(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=________.1【答案】++9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1(n∈N*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an=________.【答案】三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)用数学归纳法证明下面的等式12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.【证明】(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0·=1,∴原等式成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1.那么,当n=k+1时,则有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·[-k+2(k+1)]=(-1)k,∴n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)知对任意n∈N*有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.11.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出证明.【解】(1)当n=1时,方程x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,方程x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a1+a2-1=a2-,∴2-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得SnSn-1-2Sn+1=0,解得Sn=.由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=.猜想Sn=(n∈N*).下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,Sk+1===.即当n=k+1时结论成立.由①②知Sn=对任意的正整数n都成立.12.(13分)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*).证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.【解】(1)由题意,Sn=bn+r,2当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即=b,解得r=-1.(2)证明由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为··…·>.①当n=1时,左式=,右式=,左式>右式,所以结论成立.②假设n=k时结论成立,即··…·>,则当n=k+1时,··…··>·=,要证当n=k+1时结论成立,只需证≥,即证≥,由均值不等式=≥成立,故≥成立,所以,当n=k+1时,结论成立.由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立.3