1.2.5空间中的距离课后篇巩固提升基础达标练1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=√2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为()A.1B.√52C.√62D.32解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,√2),F2,1,√22,所以|EF|=√(1-2)2+(1-1)2+(√2-√22)2=√62,故选C.答案C2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10B.3C.83D.103解析由已知得⃗PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=|⃗PA·n||n|=|-2-4-4|3=103.答案D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.6√55B.4√55C.2√55D.√55解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),则⃗BA=(0,2,0),⃗BE=(0,1,2),设∠ABE=θ,则cosθ=|⃗BA·⃗BE||⃗BA||⃗BE|=22√5=√55,sinθ=√1-cos2θ=2√55.故A到直线BE的距离d=|⃗AB|sinθ=2×2√55=4√55.答案B4.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5B.8C.6013D.133解析方法一以D为坐标原点,⃗DA,⃗DC,⃗DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),⃗BC=(-x,0,0),⃗CD1=(0,-12,5),⃗B1B=(0,0,-5).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥⃗BC,n⊥⃗CD1,得n·⃗BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·⃗CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12).又⃗B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|⃗B1B·n||n|=6013.因为B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.方法二因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B1BA1B=12×5√52+122=6013,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.答案C5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为()A.√32B.√24C.12D.√33解析以⃗DA,⃗DC,⃗DD1为正交基底建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C1(0,1,1),⃗C1O=12⃗C1A1=12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量⃗DA1=(1,0,1),点O到平面ABC1D1的距离d=|⃗DA1·⃗C1O||⃗DA1|=12√2=√24.故选B.答案B6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为.解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',则|⃗AA'|=3,|⃗BB'|=2,|⃗A'B'|=5,又⃗AB=⃗AA'+⃗A'B'+⃗B'B,∴|⃗AB|2=32+52+22+2×3×2×12=44,∴|⃗AB|=2√11.答案2√117.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有⃗GF=(1,-1,-1),⃗GD1=(0,-2,1),所以|⃗GF·⃗GD1||⃗GF|=2-1√3=1√3,|⃗GD1|=√5,所以点D1到直线GF的距离为√5-13=√423.答案√4238.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A√32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),则⃗C1A=√32,12,-1,⃗C1B1=(0,1,0),⃗C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),则有{⃗C1A·n=√32x+12y-1=0,⃗C1B·n=y-1=0,解得n=√33,1,1,则所求距离为|⃗C1B1·n||n|=1√13+1+1=√217.答案√2179.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,√22,√22,⃗AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=√|⃗AM|2-|⃗AM·s0|2=√5-12=3√22.(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),⃗A1C1=(0,2,0),⃗A1M=(2,0,-1),则n·⃗A1C1=0,且n·⃗A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x...
