课时分层作业(二十)椭圆的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D[由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，∴b2＝62－22＝32， 焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1．]2．如图所示，底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为()A．B．C．D．A[由题意得2a＝＝8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12cm，∴c＝＝2cm，∴e＝＝．故选A．]3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对C[解得a＝5，b＝3，c＝4．∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1．]4．若椭圆＋＝1(其中a＞b＞0)的离心率为，两焦点分别为F1、F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D[由题意知2a＋2c＝16．又e＝＝，所以a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆方程为：＋＝1．]5．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左右焦点，M为椭圆上一点，若满足△MF1F2内1切圆的周长等于3π的点M恰好有两个，则a2＝()A．20B．25C．36D．48B[设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得：2πr＝3π，∴r＝，由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a，又c2＝a2－b2＝a2－16，∴c＝，由满足条件的点恰有两个，知M是椭圆的短轴顶点．即|yM|＝4，S△MF1F2＝·2c·|yM|＝4．又△MF1F2的面积为(|MF1|＋|MF2|＋2c)·r＝(a＋c)·r＝(a＋)，由(a＋)＝4得a2＝25．]二、填空题6．如果方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．＜m＜5[由题意方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得m－4＞0,5－m＞0，并且m－4＞5－m，解得＜m＜5．]7．已知椭圆W：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两点A(0，0)、B(2,0)．若椭圆W上存在点C，使得△ABC为正三角形，则椭圆W方程为．＋＝1[因为A(0,0)、B(2,0)，且△ABC为正三角形，所以根据正三角形的性质可得点C(1，)或(1，－)，又 点C在椭圆W上，∴＋＝1，∴解得∴椭圆W的方程为＋＝1．]8．若椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离之和为m－3，则m的值为．9[若椭圆的焦点在x轴上，有4＞m，则a＝2，由题意知，2a＝m－3＝4，∴m＝7，由4＞m知m＝7(舍去)；若焦点在y轴，有m＞4，则a＝，由2a＝m－3＝2，得m＝9或m＝1(舍去)．]三、解答题9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将△ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tanA＋3tanB＋tanC＝0，求椭圆的离心率．[解]因为3tanA＋3tanB＋tanC＝0可得＋＝，即＝，而在三角形中，sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)≠0，所以上式可得3cos(A＋B)－cosAcosB＝0而cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，所以可得2cosAcosB＝3sinAsinB，即tanA·tanB＝，2由题意可得A(－a,0)，B(a,0)，设C(x0，y0)，可得＋＝1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在△ACD中，tanA＝，在△BDC中，tanB＝，所以tanA·tanB＝·＝＝＝，所以可得＝，所以离心率e＝＝＝＝．10．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．[解](1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以a＝c，e＝＝．(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．其中，c＝，设B(x，y)．由AF2＝2F2B⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B．将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2．①又由AF1·AB＝(－c，－b)·＝⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2．3所以椭圆方程为＋＝1．11．已知椭圆＋＝1的离心率为e＝，则m的值为()A．5B．4C．或3D．8C[由椭圆的标准方程，易知m＞0且m≠5．①若0＜m＜5,则a2＝5，b2＝m．由＝1－＝，得m＝3．②若m＞5，则a2＝m，b2＝5．由＝1－＝，得m＝．所以m的值为3或．]12．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1、F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F...
