第7讲空间向量在证明空间位置关系中的应用1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.1．利用，列出关于n＝(x，y，z)的方程组，即由x，y，z为未知数的两个三元一次方程组成的不定方程组，根据其特点令其中一个为非零实数．即可求出其它两个．例如令z＝z0(z0≠0)．可求出x＝x0，y＝y0，则法向量n＝(x0，y0，z0)．2．利用向量方法求解立体几何问题，最后将向量关系“翻译”成几何元素关系．1．(选修2－1P118A组T7改编)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1，0,1)．若ka＋b与2a－b垂直，则k的值为()A.B.C.D.解析：选D.ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,1)＝(k－1，k,1)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,1)＝(3,2，－1)，因为ka＋b与2a－b垂直．∴(k－1，k,1)·(3,2，－1)＝0，即3k－3＋2k－1＝0，∴k＝，故选D.2．(选修2－1P104练习T2(3)改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对解析：选C. n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直，故选C.3．(选修2－1P104内文改编)已知直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量为u，v，有下列命题：①若a⊥u，则l∥α；②若a∥b，a∥u则m⊥α；③若u∥v，则α∥β；④若a∥u，u⊥v，则l⊥β.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.对于①，l可能在平面α内，故①为假；对于②，由a∥b，即l∥m，由a∥u，则有l⊥α，∴m⊥α，故②为真；对于③，由u∥v，则以u，v为法向量的两平面α，β平行．即u∥v，且u⊥α，v⊥β，∴α∥β，故③为真；对于④，由a∥u，则l⊥α，又由u⊥v，则α⊥β，∴l∥β或l⊂β，故④为假，∴②、③为真，故选B.4．(选修2－1P107练习T1改编)如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝EBD．E与B重合解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，且设E(2,2，t)．则D1F＝(0,1，－2)，DE＝(2,2，t)．由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，即2－2t＝0.∴t＝1，即E为BB1的中点，故选A.5．(选修2－1P118A组T10改编)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F、G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证D1G∥平面EFC.证明：取基底{DA，DC，DD1}＝{a，b，c}，由题意有EC＝ED＋DC＝－c＋b，EF＝ED＋DF＝－c＋a＋b.GD1＝GA1＋A1D1＝－a＋c，设GD1＝λEC＋μEF.即(－a＋c)＝λ(－c＋b)＋μ(－c＋a＋b)，∴解得λ＝1，μ＝－2.即存在λ＝1，μ＝－2，使GD1＝EC－2EF，即GD1、EC、EF共面．又GD1⊄平面EFC.∴GD1∥平面EFC.(提示：此题还有其他两种证明方法：①建立空间直角坐标系，求出EFC的法向量n，证明n⊥D1G；②连接GB与BD1，证明平面GBD1∥平面EFC.)利用向量法证明平行问题已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE.[证明]如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)．FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．设n＝(x，y，z)是平面ADE的一个法向量，则即解得令z＝2，则y＝－1.所以n＝(0，－1,2)．因为FC1·n＝－...
