3.2空间向量在立体几何中的应用VIP免费

3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3.能根据具体问题合理选定基底教学过程1.用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中，我们得知①M、A、B三点共线②A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是⃗OP=（1−t）⃗OA+t⃗OB.(t∈R)，称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量⃗AP=ta.①这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使⃗AP=ta.向量方程①通常称作直线l的参数方程。向量a称为该直线的方向向量。注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量a⑵t为参数,且t是实数,t>0⇔⃗AP和⃗a同向t<0⇔⃗AP和⃗a反向直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式⃗OP=⃗OA+ta.②如果在l上取⃗AB=a,则②式可化为⃗OP=⃗OA+t⃗AB=⃗OA+t(⃗OB−⃗OA)即⃗OP=(1−t)⃗OA+t⃗OB③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程第1页共16页aOMBPlta.注:⑴当t=12时,⃗OP=12⃗OA+12⃗OB.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点的向量表达式.⑵③中⃗OP、⃗OA、⃗OB有共同的起点.⑶③中⃗OA、⃗OB的系数之和为1.例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴P，Q为轴上两点，且分别满足条件（1）AP：PB=1：2；（2）AQ：QB=－2，求点P和点Q的坐标。2.用向量方法证明空间中有关平行的问题（1）线线平行与向量的关系设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1//l2l或1l与2重合⇔⃗v1//⃗v2，⇔⃗v1=λ⃗v2(⃗v2≠⃗0)证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。（2）线面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面α共面，一直线l的一个方向向量为ν，则l//αl或⊂α⇔∃!实数对x,y，使⃗v=x⃗v1+y⃗v2.证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行。（3）面面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面α共面，α//βαβ或与重合⇔⃗v1//β且⃗v2//β.证明面面平行的方法思路：求两平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。第2页共16页APPB2解：由已知得)(2OAOPOPOB)3132OBOAOP设P(x，y，z),则)3,3,1(31)0,4,2(32),,(zyx1,311,35zyx)1,311,35(P)6,2,0(Q同法可求得xyzOAPlBQA'D'C'B'CDABNM),2,1,0(),0,0,0(),0,1,0(),2,0,1()2(11BCBA依题意有,3),2,1,0(),2,1,1(1111CBBACBBA..5,611CBBA.30101cos111111CBBACBBACBBA),2,21,21(),2,0,0()3(1MC依题意得)0,21,21(),2,1,1(11MCBA，00212111MCBA.11MCBA例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N分别是面对角线A’B与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN=12AD'.3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则l1⊥l2⇔⃗v1⊥⃗v2,cosθ=|cos<⃗v1,⃗v2>|.（1）用向量法证两直线垂直的步骤：A.不以共面的三向量为基底，B.用基底表示欲证的两直线的方向向量，C.验证这两个方向向量的数量积为零。注：空间四边形中，有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。例4.如图,直三棱柱ABC−A1B1C1,底面ΔABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别A是1B1、A1A的中点.(1)求⃗BN的长；(2)求cos<⃗BA1⋅⃗CB1>的值；(3)求证A1B⊥C1M.解：以C为原点，⃗CA、⃗CB、⃗CC1所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O−xyz.小结：1.直线...