海门实验学校2013级高一数学自主学习提纲（函数的性质——知识篇）【考纲要求】1理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2会运用函数图象理解和研究函数的性质．【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的两个自变量的值，当时，若都有，那么就说函数在区间上单调递增，若都有，那么就说函数在区间上单调递减。（2）如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有严格的单调性，区间叫做的。（3）判断证明函数单调性的一般方法：定义法，复合法，图像法。定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①；②；③；④；⑤。复合函数分析法设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增减增减减增图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。12、奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的一个x,都有,则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的一个x,都有,则称f(x)为这一定义域内的偶函数.注：(Ⅰ)判断函数奇偶性的步骤:①；②；③.(Ⅱ)定义中条件的等价转化①f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;②f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0.(2)奇(偶)函数图像的特征：(Ⅰ)奇函数图像关于对称;(Ⅱ)偶函数图像关于对称.(3)奇偶性与单调性的联系当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题:设G,G＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有(Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性；(Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性．这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．【典型例题】类型一、求（判断）函数的单调区间例1.证明函数在区间是增函数。解：设，2，函数在区间是增函数。举一反三：【变式】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例2.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型三、判断函数的奇偶性例3.判断下列函数的奇偶性：3(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3|(5)(6)(7)解析：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)4例4．设是偶函数．（1）求的值;（2）证明：在上为增函数．解析：（1）方法一：∵是偶函数且其定义域为，∴∵，∴∴，解得或又∵，∴方法二：∵是偶函数且其定义域为，∴∴当时即∴，解得或又∵∴（2）由（1）知：设，则，∵∴∴，，∴即故在上为增函数。5点评：偶函数在其定义域内恒成立，因此可以应用恒等式的相关方法进行处理。在利用定义法证明单调性的时候，必须注意书写格式的规范。6
