第三节二项式定理【考纲下载】1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是()A．CB．CC．CD．(－1)r－1C解析：选D本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r－1C.2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42B．35C．28D．21解析：选D依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C×15＝21.3．C＋C＋C＋C＋C＋C的值为()A．62B．63C．64D．65解析：选B因为C＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋C＋C)－C＝26－1＝63.4.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于________．解析： 展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10.答案：105．(2014·南昌模拟)(x＋1)9的展开式中x3的系数是________(用数字作答)．解析：依题意知，(x＋1)9的展开式中x3的系数为C＝C＝＝84.答案：84高频考点考点一求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1](1)(2013·江西高考)5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40(2)(2013·辽宁高考)使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7[自主解答](1)此二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r(－1)r2rx－3r＝C·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r＝0，所以r＝2，所以常数项为T3＝C·22＝40.(2)Tr＋1＝C(3x)n－r·x－r＝C·3n－r·xn－r－r＝C·3n－r·xn－(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，当r＝0,1时，n＝0，，不满足条件；当r＝2时，n＝5.[答案](1)C(2)B【互动探究】若本例(2)中的条件“n∈N*”改为“n≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr＋1＝C3n－rxn－(r＝0,1,2，…，n)．即当为整数时，Tr＋1为有理项．显然当n＝3时，r的取值最少，有r＝0，r＝2，即有理项为T1、T3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．1．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A．6B．10C．12D．15解析：选CTr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，所以n＝12.2．(2014·昆明模拟)(1－)4的展开式中x的系数是________．解析：(1－)4的展开式中x的项为·C10(－)4＋xC14(－)0＝2x＋x＝3x.所以x的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和[例2](1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8(2)若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.[自主解答](1)由题意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无...
