矩形、菱形、正方形VIP专享VIP免费

第21讲矩形、菱形、正方形考点一矩形、菱形、正方形的性质和判定四边形项目矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等角四个角都是直角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角性质对称性既是中心对称图形，又是轴对称图形四边形项目矩形菱形正方形判定1.有一个角是直角的平行四边形2.有三个角是直角的四边形1.有一组邻边相等的平行四边形2.四条边都相等的四边形1.有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形2.有一组邻边相等(对角线互相垂直)的矩形四边形项目矩形菱形正方形判定3.对角线相等的平行四边形3.对角线互相垂直的平行四边形3.有一个角是直角(对角线相等)的菱形4.对角线相等且互相垂直的平行四边形温馨提示：1.正方形的判定：1先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；2先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等.2.矩形的面积：S＝aba，b表示长和宽；菱形的面积等于边长与高的乘积或两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半.考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：1.矩形、菱形和正方形都具有平行四边形的所有性质.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点比较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别与联系，把握它们的特征是关键.考点一矩形的性质与判定例1(2014·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF.(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的判定等．解：(1)证明： O是AC的中点，∴OA＝OC.又 AE＝CF，∴OE＝OF.又 DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.又 ∠EOB＝∠FOD，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD是矩形．证明： △BOE≌△DOF，∴OD＝OB.又 OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．又 OD＝12AC，OD＝12BD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．方法总结：矩形是特殊的平行四边形，证明矩形的常用方法就是先证明四边形是平行四边形，然后证明有一个角是直角或对角线相等.考点二菱形的性质与判定例2(2014·南京)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？【点拨】本题考查三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等．解：(1)证明： D，E分别是AB，AC的中点，即DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.又 EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．(2)(本题答案不唯一)当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．理由： D是AB的中点，∴BD＝12AB. DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC. AB＝BC，∴BD＝DE.又 四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．方法总结：对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.考点三正方形的性质与判定例3(2014·泸州)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质等．证明： 四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.又 AE⊥BF，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.在△ABE与△BCF中，∠BAE＝∠CBF，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.方法总结：1.正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.2.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.1．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A＝60°，则对角线BD的长度为()A．2B．23C．4D．43解析：由菱形的四条边都相等可得AB＝AD＝4，又 ∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝4.故选C.答案：C2．...