导数与不等式专题VIP专享VIP免费

导数与不等式专题（1）1、证明不等式：，2、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意的均有成立，求实数的取值范围。3、已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围。4、已知函数。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意，，有1212()()1fxfxxx。5、已知函数，.(1)若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围。导数与不等式专题（2）1．(06年全国2)设函数，若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围．2.（07年全国1）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．3.(10年全国宁夏）设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围4.（08全国二）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．5．（11年全国宁夏）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．导数与不等式专题（2）19．（2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．19．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……6分当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，……9分所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．……12分（07全国卷一理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．2.（全国二22）．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）．2分当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．6分（Ⅱ）令，则．故当时，．又，所以当时，，即．9分当时，令，则．故当时，．因此在上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是．12分11.(2010年全国高考宁夏卷21）（本小题满分12分）设函数。（2）若，求的单调区间；（3）若当时，求的取值范围（21）解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为.21．（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．（21）解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00，故(x）>0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]解：（2）...