初中数学教学中巧用面积法解题许多数学问题,表面上看来似与面积无关,但灵活运用面积法,往往能使问题顺利获解,下面举例介绍面积法的运用。一.用面积法证线段相等例1.已知:如图1,AD是△ABC的中线,CF⊥AD于F,BE⊥AD交AD的延长线于E。求证:CF=BE。图1证明:连结EC,由BD=DC得,CDEBDEACDABDSS,SS,两式两边分别相加,得ACEABESS故CFAE21BEAE21所以BE=CF。注:直接由ACDABDSS得CFAD21BEAD21更简洁。二.用面积法证两角相等例2.如图2,C是线段AB上的一点,△ACD、△BCE都是等边三角形,AE、BD相交于O。求证:∠AOC=∠BOC。图2证明:过点C作CP⊥AE,CQ⊥BD,垂足分别为P、Q。因为△ACD、△BCE都是等边三角形,所以AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE,所以∠ACE=∠DCB所以△ACE≌△DCB所以AE=BD,DCBACESS可得CP=CQ所以OC平分∠AOB即∠AOC=∠BOC三.用面积法证线段不等例3.如图3,在△ABC中,已知AB>AC,∠A的平分线交BC于D。求证:BD>CD。图3证明:过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F设BC边上的高为h。因为∠BAD=∠DAC所以DE=DF因为DFAC21S,DEAB21SACDABD且AD>AC所以ACDABDSS即hCD21hBD21所以BD>CD四.用面积法证线段的和差例4.已知:如图4,设等边△ABC一边上的高为h,P为等边△ABC内的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F。求证:PE+PF+PD=h。图4证明:连结PA、PB、PC因为PEAC21S,PFAB21SAPCABP,PDBC21SBCP又BPCAPCABPABCSSSS所以PDBC21PEAC21PFAB21hBC21。因为△ABC是等边三角形所以PDPEPFh即PE+PF+PD=h五.用面积法证比例式或等积式例5.如图5,AD是△ABC的角的平分线。求证:DCBDACAB。图5证明:过D点作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。因为AD是△ABC的角的平分线,所以DE=DF,则有ACABSSACDABD。过A点作AH⊥BC,垂足为H,则有DCBDSSACDABD即DCBDACAB六.用面积比求线段的比例6.如图6,在△ABC中,已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。求证:AM21MD。图6证明:连结CM,过B作BG⊥AD交AD延长线于G,则MAFMCFBCFBAFSS,SS,所以MBCMABSS。又MBCMDCMBDS21SS,所以MABMBDS21S,AMBG21S,MDBG21SBAMMBD所以AM21MD。总结人:张廷伦2010年5月18日