高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量课后训练案巩固提升（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

§1从平面向量到空间向量课后训练案巩固提升1.下面几个命题:①向量的模是一个正实数;②所有的单位向量相等;③所有的零向量相等;④一条直线的方向向量是相等的.其中错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1解析:0的模为0,故①错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故②错,③对;一条直线的方向向量不唯一,故④错.答案:B2.在四边形ABCD中,若,且||=||,则四边形ABCD为()A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定解析:若,则AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又||=||,即AC=BD,所以四边形ABCD为矩形.答案:B3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是()A.一个圆B.两个孤立的点C.一个球面D.一个平面解析:半径为1的球面上所有点到球心的距离为1.答案:C4.在正三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,设<>=α,<>=β,则α+β=()A.B.C.D.解析:如图,取BC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AC,FG∥BD,故∠FEG=α,∠EFG=β.∵三棱锥A-BCD是正三棱锥,∴AC⊥BD,∴EG⊥FG,即∠EGF=.∴α+β=∠FEG+∠EFG=.答案:D5.导学号90074018下列命题:①两个相反向量必是共线向量;②温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量;③已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量;1④不相等的两个空间向量的模必不相等.其中,真命题的序号为.答案:①6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,则<>=.解析:连接DB,BC1,DC1.∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴△BDC1为等边三角形.∵E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,∴EF∥BD,GH∥BC1.∴<>=<>=.答案:7.如图,已知ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求:(1)与相等的向量;(2)的相反向量;(3)与平行的向量.解如图,连接AD1,CD1.(1)与相等的向量为.2(2)的相反向量为.(3)与平行的向量为.8.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求:(1)<>,<>,<>;(2)<>,<>.解(1)∵ABCD-A'B'C'D'为正方体,∴AB∥A'B',AD⊥D'C',AB∥C'D'.∴<>=0,<>=,<>=π.(2)∵在正方体ABCD-A'B'C'D'中AD∥BC,∴<>=<>=.连接AC,则△ACD'为等边三角形,∴<>=.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PD=CD,E,F分别是PC,PB的中点.(1)试求以F为起点的直线DE的一个方向向量;(2)试求以F为起点的平面PBC的一个法向量.解(1)如图,取AD的中点M,连接MF,EF,3∵E,F分别是PC,PB的中点,∴EF􀱀BC.又BC􀱀AD,∴EF􀱀AD,∴EF􀱀DM,∴四边形DEFM是平行四边形,∴MF∥DE,∴是以F为起点的直线DE的一个方向向量.(2)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.又BC⊥CD,且PD∩DC=D,∴BC⊥平面PCD.∵DE⫋平面PCD,∴DE⊥BC.又PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC.又BC∩PC=C,∴DE⊥平面PBC,∴是平面PBC的一个法向量,由(1),可知,∴就是以F为起点的平面PBC的一个法向量.4