【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章1.4第2课时微积分基本定理课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1．定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1[答案]C[解析]本题考查定积分的计算、微积分基本定理．(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e－1＝e.2．下列各式中，正确的是()A.f′(x)dx＝f′(b)－f′(a)B.f′(x)dx＝f′(a)－f′(b)C.f′(x)dx＝f(b)－f(a)D.f′(x)dx＝f(a)－f(b)[答案]C[解析]要分清被积函数和原函数．3．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为()A.gB．gC.gD．2g[答案]C[解析]物体下落的距离s＝gtdt＝gt2＝g.故选C.4．(2015·湖南理，11)(x－1)dx＝()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析](x－1)dx＝(x2－x)|20＝0，故选A.5．若曲线y＝与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为()A.B.C.D．[答案]A[解析]由题意知，dx＝a2，∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，∴a＝a2，∴a＝.6．曲线y＝cosx与坐标轴所围图形的面积是()A．4B．2C.D．3[答案]D[解析]由y＝cosx图象的对称性可知，y＝cosx与坐标轴所围面积是3cosxdx＝3sinx＝3.故选D.7．如图，阴影部分的面积是()1A．2B．2－C.D．[答案]C[解析](3－x2－2x)dx＝＝.故选C.8.|x2－4|dx＝()A.B．C．D．[答案]C[解析]|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝＋＝.故选C.二、填空题9．(2015·青岛市胶州市高二期中)若(2x＋k)dx＝2，则k的值为________．[答案]1[解析](2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，解得k＝1，故答案为1.10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．[答案](f(x)－g(x))dx11．(2015·三峡区期中)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是________．[答案]2－2[解析]由三角函数的对称性和题意可得2S＝2(cosx－sinx)dx＝2(sinx＋cosx)＝2(＋)－2(0＋1)＝2－2.三、解答题12．求下列定积分．(1)dx；(2)x3dx；(3)exdx.[解析](1)因为(lnx)′＝，所以dx＝3lnx＝3(ln2－ln1)＝3ln2.(2)∵′＝x3，∴x3dx＝x4＝.(3)∵(ex)′＝ex，∴exdx＝ex＝e－.一、选择题1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C．D．1[答案]B[解析]本题考查定积分的求法．根据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－.2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.B.C.D.[答案]A[解析]由得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝(x2－x3)dx＝＝.3．设f(x)＝，则f(x)dx等于()A.B．C.D．不存在[答案]C[解析]f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.故选C.4．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S12.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.二、填空题5．(2015·锦州期中)(x2＋sinx)dx＝________.[答案]3[解析]本题考查了定积分的知识，由于(x2＋sinx)dx＝＝－cos1－(－－cos1)＝，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．6．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．[答案][解析]本题考查待定系数法与定积分的计算．设直线为y＝kx＋b，代入点B的坐标，∴y＝10x.代入B，C两点的坐标，则，∴k＝－10，b＝10.∴y＝，∴f(x)＝.∴S＝10x2dx＋(10x－10x2)dx＝10·＋10·(－)＝＋＝.定积分的几何意义即曲边梯形的面积．三、解答题7．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min内所行驶的路程．[解析]由速度—时间曲线易知，v(t)＝由变速直线运动的路程表达式可得取H(t)＝，F(t)＝30t，G(t)＝－t2＋90t，则H′(t)＝3t，F′(t)＝30，G′(t)＝－1.5t＋90.从而s＝3tdt＋30dt＋(－1.5t＋90)dt＝H(10)－H(0)＋F(40)－F(10)＋G(60)－G(40)＝1350(m)．答：该汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.简解：由定积分几何意义知所求路程即为图中梯形ABCO的面积，即＝1350(m)．8．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．[解析](1)因为′＝2ax2－a2x，所以(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.所以f(a)＝a－a2＝－＋＝－2＋.所以当a＝时，f(a)有最大值.(2)∵f(－1)＝2，f′(0)＝0，4∴①而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，则F′(x)＝ax2＋bx＋c.∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2②解①②得a＝6，b＝0，c＝－4.5
