3.1归纳与类比（1）学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.【答案】B2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72016的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49【解析】 75＝16807,76＝117649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】A3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝()A．B．C．D．【解析】可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2,3,4，求得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.【答案】B4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图316)．图316则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】C5．如图317所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()1图317A．an＝3n－1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3【解析】 a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.【答案】A二、填空题6．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.【解析】x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，∴xn＝.【答案】，，7．根据给出的数塔，猜测123456×9＋7等于________.1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123456×9＋7＝1111111.【答案】11111118．如图318所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝__________________，an＝______________.图318【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】153n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．2【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，＝－2－S1＝－3，∴S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N＋)．10．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】由f(x)＝，得f(0)＋f(1)＝＋＝，f(－1)＋f(2)＝＋＝，f(－2)＋f(3)＝＋＝.归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝.证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋＝＝＝.[能力提升]1．(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC．D．n2＋n＋1【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C．【答案】C2．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10)B．(10,2)C．(3,5)D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】A3．如图319①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图319②，如此继续下去，得图319③，…，试用n表示出第n个图形的边数a...
