1．2绝对值不等式1．2.1绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x|＝思考1求下列各数的绝对值：(1)3；(2)－8；(3)0.答案:(1)3(2)8(3)02．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a＋b|≤|a|＋|b|⇔(a＋b)2≤(|a|＋|b|)2⇔a2＋b2＋2ab≤a2＋b2＋2|a||b|⇔ab≤|a||b|⇔ab≤|ab|，由已知知识可知ab≤|ab|一定成立，因而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab＝|ab|⇔ab≥0可知，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a＋b|≤|a|＋|b|.(3)定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.思考2说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；(2)|a|－|b|≤|a＋b|；(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.答案:(1)等号成立的条件是：ab≥0；1(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.(3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥03．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．思考3当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．答案:(－∞，0)1．若|x－a|0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案:C3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．答案:504．方程|x|＋|logax|＝|x＋logax|(a>1)的解集是________________．答案:{x|x≥1}5．|x－A|<，|y－A|<是|x－y|<ε的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案:A6．若不等式|x－4|＋|x－3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()2A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(3，4)D．[3，＋∞)答案:A7．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件解析： |2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，∴当a＜4时⇒|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件；当|2x－1|＋|2x＋3|≥a⇒a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．答案：B8．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值是________，最小值是________．解析：解法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.解法二把函数看作分段函数y＝|x－3|－|x＋1|＝∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.答案：4－49．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值是________．解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.答案：510．(2014·江西高考文科)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为____________．解析：由|a|＋|b|≥|a－b|知，|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，同理|y|＋|y－1|≥1，故|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，所以0≤x≤1且0≤y≤1，即0≤x＋y≤2.答案：[0，2]11．(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学)设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)，证明：f(x)≥2.解析：(1)由a＞0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.12．设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值．解析：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝23|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋...
