第2课时简单的三角恒等变换[基础题组练]1．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．－B.C.D.解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.2．已知sin2α＝，则cos2等于()A.B.C.D.解析：选A.cos2＝＝＝，又sin2α＝，所以原式＝＝，故选A.3．(2019·郑州模拟)已知cos＝，则cosx＋cos＝()A.B.C.D.解析：选D.cosx＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝，故选D.4．(2019·临川模拟)已知cos＝，则sin的值为()A.B．－C.D．－解析：选B.sin＝sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选B.5．(2019·安徽淮南一模)设α∈，β∈，且tanα＝，则下列结论中正确的是()A．α－β＝B．α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝解析：选A.tanα＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝.6．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A．－B.C．－D.解析：选C.由3cos2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，又由α∈可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝，所以1＋2sinα·cosα＝，故sin2α＝－.故选C.7．(2019·平顶山模拟)已知sinα＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝()A.B.C．－D．－解析：选A.因为sinα＝－，α∈，所以cosα＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝.8.的值为________．解析：原式＝＝＝.答案：9．设α是第四象限角，若＝，则tan2α＝________．解析：＝＝＝cos2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝.因为α是第四象限角，所以cosα＝，sinα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，所以tan2α＝－.答案：－10．若sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤.同理sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－cosαsinβ∈[－1，1]，所以－≤cosαsinβ≤.综上可得，－≤cosαsinβ≤.答案：11．已知sin＝，α∈.求：(1)cosα的值；(2)sin的值．解：(1)sin＝，即sinαcos＋cosαsin＝，化简得sinα＋cosα＝，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝－或cosα＝，因为α∈.所以cosα＝－.(2)因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝，则cos2α＝1－2sin2α＝－，sin2α＝2sinαcosα＝－，所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝－.12．(一题多解)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)法一：因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.法二：因为f(α)＝，所以sin＝1.所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋，k∈Z.又因为α∈，所以当k＝1，即α＝时，符合题意．故α＝.[综合题组练]1．(2019·六安模拟)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或解析：选A.因为α∈，β∈，所以2α∈.又0
