课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于()A．B．C．D．解析：选D f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(1)＝α＝.对点练二利用导数的运算法则求导数3．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：选By′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.4．函数y＝的导数为________．解析：y′＝′＝＝＝.答案：5．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝.解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.(3)y′＝′＝＝＝.对点练三利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．解析： y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.答案：y＝3x8．若曲线f(x)＝x·sinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.解析：因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.1答案：29．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2019(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选D因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2019(x)＝f3(x)＝－cosx.2．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D．解析：选A因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．解析：选By′＝＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A．1B．±1C．－1D．－2解析：选A设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.5．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为____________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3， f′(x)是偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，∴f(2)＝8－6＝2，f′(2)＝9，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.答案：9x－y－16＝06．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________.解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所...
