（浙江专版）高考数学一轮复习 专题3.3 利用导数研究函数的单调性（讲）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第03节利用导数研究函数的单调性【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。2013·浙江文理科8，21；2014•浙江文科21，理科22；2017•浙江卷7，20；2018•浙江卷22.1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．3.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1．利用导数研究函数的单调性在(,)ab内可导函数()fx，'()fx在(,)ab任意子区间内都不恒等于0.'()0()fxfx在(,)ab上为增函数．'()0()fxfx在(,)ab上为减函数．【重点难点突破】考点1确定函数的单调性或求函数的单调区间【1-1】已知函数)(xf与)('xf的图象如下图所示，则函数xexfxg)()(的递减区间为（）1A．)4,0(B．)1,0(，),4(C．)34,0(D．)1,(，)4,34(【答案】B【1-2】【2018年全国卷II文】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）见解析.【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.详解：（1）当a=3时，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f′（x）>0；当x∈（，）时，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．2设=，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.【1-3】【2016北京理数】设函数()axfxxebx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex，（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a，be；（2）)(xf的单调递增区间为(,).所以，当)1,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1,(上单调递减；3当),1(x时，0)(xg，)(xg在区间),1(上单调递增.故1)1(g是)(xg在区间),(上的最小值，从而),(,0)(xxg.综上可知，0)(xf，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(.【领悟技法】1.导数法证明函数()fx在(,)ab内的单调性的步骤(1)求'()fx；(2)确认'()fx在(,)ab内的符号；(3)作出结论：'()0fx时为增函数；'()0fx时为减函数．2.求函数的单调区间方法一：①确定函数()yfx的定义域；②求导数''()yfx；③解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.求函数的单调区间方法二：①确定函数()yfx的定义域；②求导数''()yfx，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()fx的间断点(即()fx的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义区间分成若干个小区间；④确定'()fx在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【触类旁通】【变式一】函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】由题意，知f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.故选D.【变...