2.2.1综合法和分析法A级：基础巩固练一、选择题1．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则()A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∨b≥2，c∧d≤2C．a∧b≥2，c∨d≥2D．a∨b≥2，c∨d≥2答案B解析∵a∧b＝a∨b＝正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，∴不妨令a＝1，b＝4，则a∧b≥2错误，故可排除A，C，再令c＝1，d＝1满足c＋d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D，选B.2．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是()A．a·b>0B．a·b<0C．a>0，b<0D．a>0，b>0答案C解析∵与同号，由＋≤－2知<0，<0，即ab<0.∴＋＝－≤－2＝－2.∴ab<0是＋≤－2的充要条件．∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．故选C.3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>QB．P＝QC．P
0，b>0，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是()A．aabb>abbaB．aabb≥abbaC．aabbb>0时，>1，a－b>0，a－b>1，所以aabb>abba.②当b>a>0时，0<<1，a－b<0，则a－b>1，所以aabb>abba.综合①②可知，总有aabb>abba.5．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．6．设f(x)＝x3＋bx＋c在[－1,1]上是增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(1)A．可能有3个实根B．可能有2个实根C．有唯一实根D．没有实根答案C解析由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f<0，所以f(x)在上有唯一零点，即f(x)＝0在上有唯一实根，从而在[－1,1]上有唯一实根．二、填空题7．用分析法证明不等式＋<2(n>0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________．答案0<4解析要证明＋<2(n>0)，只要证明n＋n＋4＋2<4(n＋2)，只要证明－.证明要证>－，即证1>n－，只需证>n－1，因为n≥2，所以只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，0>－1显然成立，故原结论成立．B级：能力提升练11．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别是角A，B，C的对边．求证：＋＝.证明要证＋＝，2只需证＋＝3，即证＋＝1，即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．12．如图，A是△BCD所在平面外一点，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，E是BC的中点．求证：(1)AD⊥BC；(2)△AED是钝角三角形．证明(1)∵AB＝AC，E是BC的中点，∴BC⊥AE.∵在△ABD和△ACD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴BD＝DC.∵E是BC的中点，∴BC⊥ED.∵BC⊥AE，AE∩ED＝E，∴BC⊥平面AED.∵AD⊂平面ADE，∴AD⊥BC.(2)∵AE2＝AB2－BC2，ED2＝BD2－BC2，AD2＝AB2＋BD2，∴cos∠AED＝＝－<0.∴∠AED是钝角，故△AED是钝角三角形．34
