第3课时复数代数形式的乘除运算基础达标(水平一)1.已知a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=().A.2B.C.D.1【解析】∵=(a+i)(-i)=1-ai,∴=|1-ai|==2,解得a=或a=-(舍去).【答案】B2.复数z=对应的点在复平面的第()象限.A.一B.二C.三D.四【解析】z=====-+i,故z对应的点在复平面的第二象限.【答案】B3.设复数z满足=i,则|z+1|=().A.0B.1C.D.2【解析】∵=i,∴z=,∴z+1=+1==1-i,∴|z+1|=.【答案】C4.设z1,z2∈C,则“z1,z2中至少有一个数是虚数”是“z1-z2是虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当z1,z2中至少有一个数是虚数时,z1-z2不一定是虚数,如z1=z2=i.若z1,z2都是实数,则z1-z2一定不是虚数,因此当z1-z2是虚数时,“z1,z2中至少有一个数是虚数”成立.故为必要不充分条件.【答案】B5.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=.1【解析】∵a,b∈R,且=1-bi,则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,∴∴∴|a+bi|=|2-i|==.【答案】6.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为A,B,点A与点B关于x轴对称,若z1(1-i)=3-i,则|z2|=.【解析】∵z1(1-i)=3-i,∴z1===2+i.∵A与B关于x轴对称,∴z1与z2互为共轭复数,∴z2==2-i,∴|z2|=.【答案】7.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的一个根.【解析】(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.∴得∴b的值为-2,c的值为2.(2)方程为x2-2x+2=0.把1-i代入方程左边,得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.拓展提升(水平二)8.若x=,则=().A.-2B.-1C.1+iD.1【解析】∵x2-x=x(x-1)=·=·=-(1-i)(1+i)=-1,∴=-1,故选B.【答案】B29.设z=+i(i是虚数单位),则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=().A.6zB.6z2C.6D.-6z【解析】∵z2=-+i,z3=-1,z4=--i,z5=-i,z6=1,∴原式=+(-1+i)+(-3)+(-2-2i)++6=3-3i=6=6.【答案】C10.设x,y为实数,且+=,则x+y=.【解析】+=可化为+=,即+i=+i,由复数相等的定义知解得则x+y=4.【答案】411.设z∈C,满足z+∈R,且z-是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+=x+yi+=x++i.∵z+∈R,∴y-=0,解得y=0或x2+y2=1.又∵z-=x+yi-=+yi是纯虚数,3∴∴x=,代入x2+y2=1中,解得y=±,∴复数z=±i.4
