课时限时检测(十四)导数的应用(一)(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【答案】D3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，)【答案】D4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a)D．f(x)＜f(a)【答案】A5．已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是()A．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，极大值f(1)＝1B．函数f(x)有极大值f(－2)＝－，极小值f(1)＝1C．函数f(x)有极小值f(－2)＝－，无极大值D．函数f(x)有极大值f(1)＝1，无极小值【答案】A6．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为()A.B.C.＋1D.－1【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f(x)＝的单调递减区间是________．【答案】(0,1)，(1，e)8．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.【答案】119．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【答案】(0,1)∪(2,3)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．【解】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．11．(12分)已知函数f(x)＝alnx－x＋.(1)若a＝4，求f(x)的极值；(2)若f(x)在定义域内无极值，求实数a的取值范围．【解】(1)已知a＝4，∴f(x)＝4lnx－x＋，(x＞0)f′(x)＝－1－＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.当0＜x＜1或x＞3时，f′(x)＜0，当1＜x＜3时，f′(x)＞0，f(1)＝2，f(3)＝4ln3－2，∴f(x)取得极小值2，极大值4ln3－2.(2)f(x)＝alnx－x＋(x＞0)，f′(x)＝－1－＝，f(x)在定义域内无极值，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在定义域上恒成立．即方程f′(x)＝0在(0，＋∞)上无变号零点．设g(x)＝－x2＋ax－(a－1)，根据图象可得Δ≤0或，解得a＝2，∴实数a的取值范围为a＝2.12．(13分)设函数f(x)＝ax－lnx，g(x)＝ex－ax，其中a为正实数．(1)若x＝0是函数g(x)的极值点，讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1，＋∞)上无最小值，且g(x)在(1，＋∞)上是单调增函数，求a的取值范围；并由此判断曲线g(x)与曲线y＝ax2－ax在(1，＋∞)交点个数．【解】(1)由g(0)＝1－a＝0得a＝1，f(x)的定义域为：(0，＋∞)，f′(x)＝1－，函数f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．(2)由f′(x)＝a－＝，若0＜a＜1则f(x)在(1，＋∞)上有最小值f(a)，当a≥1时，f(x)在(1，＋∞)单调递增无最小值．∵g(x)在(1，＋∞)上是单调增函数，∴g′(x)＝ex－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤e，综上所述a的取值范围为[1，e]．此时，g(x)＝ax2－ax即a＝，令h(x)＝⇒h′(x)＝.则h(x)在(0,2)单减，在(2，＋∞)单增，极小值为h(2)＝＞e.故两曲线没有公共点．
