第01讲任意角和弧度制及任意角的三角函数---讲1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算.2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3.高考预测:(1)三角函数的定义;(2)扇形的面积、弧长及圆心角;(3)在大题中考查三角函数的定义,主要考查:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标.4.备考重点:(1)理解三角函数的定义;(2)掌握扇形的弧长及面积计算公式.知识点1.象限角及终边相同的角1.任意角、角的分类:①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角:终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).2.弧度制:①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.3.弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度.【典例1】(2019·乐陵市第一中学高三专题练习)如果,那么与终边相同的角可以表示为A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得,与终边相同的角可以表示为.故选B.【规律方法】1象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.【变式1】若角是第二象限角,试确定2,2的终边所在位置.【答案】角2的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上,2的终边在第一象限或第三象限.【解析】 角是第二象限角,∴,(1),∴角2的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.(2),当时,∴,∴2的终边在第一象限.当时,∴,∴2的终边在第三象限.综上所述,2的终边在第一象限或第三象限.知识点2.三角函数的定义1.任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sinα=y,cosα=x,tanα=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.2.三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan2α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典例2】(2011·江西高考真题(文))已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若是角终边上一点,且,则y=_______.【答案】-8【解析】根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.【变式2】(浙江省嘉兴市第一中学期中)已知角的终边与单位圆交于点,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由三角函数的定义可得.故选B.知识点3.扇形的弧长及面积公式弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2.3【典例3】(2019·河南高考模拟(理))已知圆与直线相切于,点同时从点出发,沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当运动到点时,点也停止运动,连接,(如图),则阴影部分面积,的大小关系是()A.B.C.D.先,再,最后【答案】A【解析】如图所示,因为直...