2.1.2求曲线的方程A级：基础巩固练一、选择题1．已知点A(－1,0)，B(1,0)，且MA·MB＝0，则动点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1(x≠±1)D．x2＋y2＝2(x≠±)答案A解析设动点M(x，y)，则MA＝(－1－x，－y)，MB＝(1－x，－y)．由MA·MB＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝0，即x2＋y2＝1.2．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A．f(x－3，y)＝0B．f(y＋3，x)＝0C．f(y－3，x＋3)＝0D．f(y＋3，x－3)＝0答案D解析在对称曲线上任选一点(x，y)，则它关于x－y－3＝0对称的点为(y＋3，x－3)．故所求曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.3．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案B解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理，得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝4π.4．已知lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝4x2－8x(x>2)B．y2＝4x2＋8x(x>2)C．y＝(x>2)D．y＝－(x>2)答案A解析∵lg(x－2)，lg|2y|，lg16x成等差数列，∴2lg|2y|＝lg(x－2)＋lg16x，∴4y2＝(x－2)·16x，得y2＝4x2－8x(x>2)．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0答案B解析由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.6．已知定点F1(－2,0)与F2(2,0)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝4，则点M的轨迹方程是()1A.－＝1B.－＝0(x≥2)C．y＝0(|x|≥2)D．y＝0(x≥2)答案D解析假设M(x，y)，根据|MF1|－|MF2|＝4，可以得到：－＝4，两边平方，化简可以得到y＝0，又因为|F1F2|＝4，且|MF1|>|MF2|，所以动点M的轨迹是一条射线，起点是(2,0)，方向同x轴正方向．二、填空题7．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________．答案(x－1)2＋y2＝2解析圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.8．过点P(0,1)的直线与曲线|x|－1＝相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是________．答案[2，4]解析曲线|x|－1＝可化为x≥1，(x－1)2＋(y－1)2＝1，或x<－1，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是[2，4]．三、解答题9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP·MN＝4，求动点P的轨迹方程．解由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则MN＝(x，－2y)，故OP·MN＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.10．已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－3,5)，点M在圆O上移动，且点P满足AP＝AM，求点P的轨迹方程．解设P(x，y)，M(x0，y0)．因为AP＝(x＋3，y－5)，AM＝(x0＋3，y0－5)，且AP＝AM，所以(x＋3，y－5)＝(x0＋3，y0－5)，所以即因为点M(x0，y0)在圆O上，所以x＋y＝4，2即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4，即(x＋2)2＋2＝.故动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋2＝.B级：能力提升练1．直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得2＋y2＝.∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．解方程组得两曲线交点的横坐标为x＝，故所求轨迹方程为2＋y2＝.2．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．解设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)，当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2.由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0.当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0.当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0.综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0.34
