复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是()A.-2+2iB.-2+4iC.-1+iD.-1+2i【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,=(x+2,y-3),=(-x,-1-y).因为=,所以x+2=-x,y-3=-1-y,解得x=-1,y=1.点C表示的复数是-1+i.2.(2016·昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是()A.1B.2C.-2D.-1【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,⇒xy=1.⇒3.(2016·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i【解析】选D.依题意有==-,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,1即对应的复数为4-2i.【补偿训练】(2016·武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是()A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i【解析】选D.由平行四边形法则可得解得=(1,7),所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=()A.B.5C.D.5【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z=()A.-+iB.-iC.--iD.+i【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),2则x+yi+=2+i,因此有解得故z=+i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),由|z|=4得a2+4=16,所以a2=12,所以a=±2,所以z=±2-2i.答案:±2-2i7.(2016·成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=3,所以a2+b2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,所以即又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.答案:3i8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,||==5,||=10.|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.3答案:100三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又因为z=13-2i,且x,y∈R,所以解得所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为()A.1B.2C.-2D.-2或1【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得⇒a=-2.【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是()A.3B.4C.5D.6【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|4的最大值是+1=6.【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,所以(x-3)2+(y-4)2=1,设x=3+cosθ,y=4+sinθ,则|z|====(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________.【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.答案:-44.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.【解析】由复数加法、减法的几何意...
