高中数学 2.5易错点分析 用数量积解题同步教学例题讲解 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学试题VIP免费

用数量积解题易错点分析平面向量的数量积是高中数学的重要概念之一.在学习这一内容时，受实数运算性质的影响，容易产生思维定势，如果进行简单的类比，则会产生知识上的负迁移.下面剖析几例加以说明.1．忽视向量夹角的范围致错例1若两向量12，ee满足12e，21e，12，ee的夹角为60，若向量2t127ee与向量1et2e的夹角为钝角，求实数t的取值范围．错解：设向量2t127ee与向量1et2e的夹角为，由为钝角，知cos0，故（2t127ee）·（1et2e）＝2t21e2(27)t12ee·7t22e221570tt，解得172t．分析：本题忘了排除cos1，即排除两向量反向时t的值．正解：由上面可知，172t，再设向量2t127ee与向量1et2e反向，则2t1e27ek（1et2e）（0k），从而27tktk，，解得14214.tk，即当142t时，两向量夹角为π．t的取值范围是141417222，，．2．乱用实数的运算性质致错例2已知平行四边形ABCD中，2244ACBDABAD·，求DAB的度数．错解：设AB�a，AD�b，则�ACab，BD�ba，由22ACBD·2222244244()()()2()··abbabaababab44ABAD，故0ab·，90DAB．分析：一般来说，对于向量，mn，222()()()mnmn··，事实上，1222222()cos()()mnmnmn···≤，而上述解答两次运用了等式222()()()mnmn··．正解：22·ACBD2222()()(2)abbaabab···222222(2)()4()··abababab442224424()abababab··44ABAD．22224()··abab，则212abab·，cosDAB22abab·．故DAB为45或135．例3已知，ab都是非零向量，且向量3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角．错解：由题意可得(3)(75)0abab·，①(4)(72)0abab·，②将①，②式展开并相减，得24623abb·，③因b0，故12ab，④将12ab代入②，得22ab，则ab，设a与b夹角为，22112cos2bababb·，0180≤≤，故60．分析：上面解法从表面上看结果是正确的，但认真分析就会发现，上面解法中有一个原则性的错误，即由③得出④．前式的两端均为实数，而后式的两端均为向量，我们并没有学过向量除法，即使b0，也不能随便约去，这是实数运算与向量运算的重要区别之一．正解：由上面解法，有24623abb·，22abb·，将22abb·代入①或②均可得：22ab，则ab．设a与b的夹角为，则1cos2abab·．0180≤≤，故60．23．忽略共线向量致错例4已知同一平面上三向量abc，，，两两向量所成的角皆相等．且236abc，，，求236abc的值．错解：易知abc，，皆为非零向量，设abc，，两两所成的角都为，则3360，故120，cos1203abab·．同理，9bc·，6ca·．由222223649362(61812)889abcabcabbcca···，236889abc．分析：上述解法只考虑到了一种情况，还应考虑当向量abc，，共线同向时，两两向量所成角都为0，同样符合题意，此时23623649abcabc．4．混淆向量平行与线段（直接）平行致错例5已知点(01)(10)(12)(21)，，，，，，，ABCD．求证：ABCD∥．错证：(11)(11)ABCD�，，，，又1(1)(1)10，ABCD�∥，ABCD∥．分析：此题错误的原因是混淆了向量的平行和线段（直线）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量．所以，ABCD，，，四点共线时，AB�与CD�仍为平行向量，但此时线段AB与CD不平行，因为线段（直线）的平行不包括重合的情况，所以此题的正确证法，应在原证法基础上添加：又(11)AB�，，(11)AC�，，而11(1)10．3AB�与AC�不平行．ABC，，三点不共线．ABCD∥．4