第21讲函数与导数的实际应用1．几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：①当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10050；②当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．(1)求M关于销售价格x的函数关系式；(2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．解：(1)当x＝60时，t(60)＝1600，代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10050，解得a＝2.∴M(x)＝即M(x)＝(2)设g(u)＝(－2u2－20u＋10000)(u－34)－20000,34≤u＜60，u∈R，则g′(u)＝－6(u2－16u－1780)．令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)，u2＝8＋2∈(50,51)．当34＜u＜50时，g′(u)＞0，g(u)单调递增；当51＜u＜60时，g′(u)＜0，g(u)单调递减． x∈N*，M(50)＝44000，M(51)＝44226，∴M(x)的最大值为44226.当60≤x≤70时，M(x)＝100(－x2＋110x－2584)－20000单调递减，故此时M(x)的最大值为M(60)＝21600.综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44226元．答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件．2．(2019·苏州暑假测试)某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB＝xm，且x≥80.(1)若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？解：设题中半圆的半径为r(m)，矩形ABCD的面积为S(m2)，内圈周长为c(m)．(1)由题意知，S＝2rx，且2x＋2πr＝400，即x＋πr＝200，于是S＝2rx＝·x·(πr)≤2＝(m2)，当且仅当x＝πr＝100(m)时，等号成立．答：当x＝100(m)时，矩形ABCD的面积最大．(2)由题意知，2rx＋πr2＝，于是x＝－·r，从而c＝2x＋2πr＝2＋2πr＝＋πr.因为x≥80，所以－·r≥80，即(πr)2＋160·πr－22500≤0，解得－250≤πr≤90，所以0
