第12课时圆锥曲线的综合应用基础达标(水平一)1.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是().A.B.C.或D.或【解析】因为m=±4,当m=4时,离心率为,当m=-4时,离心率为,故选D.【答案】D2.下列说法中不正确的是().A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是抛物线的一部分C.已知圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D.已知点A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【解析】A选项中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分;B选项中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分;C选项中符合椭圆定义是正确的;D选项中应为双曲线一支.故选D.【答案】D3.已知A是双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心,若=λ,则双曲线的离心率为().A.2B.3C.4D.与λ的取值有关【解析】因为=λ,所以∥,所以==,即=,所以e==3,故选B.【答案】B14.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为().A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】 抛物线的焦点为(-1,0),∴c=1.又椭圆的离心率e=,∴a=2,b2=a2-c2=3,∴椭圆的方程为+=1,故选A.【答案】A5.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段,则此双曲线的离心率为.【解析】因为抛物线的焦点坐标为,由题意知=,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=c,故e==.【答案】6.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角θ满足cosθ=-,则E的离心率为.2【解析】设点M在第一象限,△ABM是等腰三角形,则有AB=BM,由cosθ=-得sinθ=,所以M点坐标为,即,代入双曲线方程有-=1,b2=2a2,又因为b2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,=3,e==.【答案】7.已知动直线l的倾斜角为45°,若l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且A,B两点纵坐标之和为2.(1)求抛物线方程;(2)若直线l'与l平行,且l'过原点关于抛物线的准线与x轴的交点的对称点,M为抛物线上一动点,求动点M到直线l'的最小距离.【解析】(1)设直线l的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0.由题意知y1+y2=2p=2,得p=1.故抛物线方程为y2=2x.(2)抛物线y2=2x的准线与x轴的交点为,则l'过点(-1,0),所以l'的方程为y=x+1,故点M(x,y)到直线l'的距离d=.因为点M(x,y)在抛物线y2=2x上,所以d===.故当y=1时,d的最小距离为.拓展提升(水平二)8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为().A.B.6C.8D.12【解析】设点P(x,y),则·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2,3因为点P在椭圆上,所以+=1,所以x2+x+=x2+x+3=(x+2)2+2,又-2≤x≤2,所以当x=2时,(x+2)2+2取得最大值为6,即·的最大值为6,故选B.【答案】B9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p的值为().A.4B.3C.2D.1【解析】抛物线x2=2py的焦点为,所以可得b=,因为2a=4⇒a=2,所以双曲线方程为-=1,可求得其渐近线方程为y=±x,不妨设y=kx-1与y=x平行,则有k=.联立方程得x2-x+2p=0,所以Δ=-8p=0,解得p=±4,又p>0,故p=4.【答案】A10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足+=-,则++=.【解析】设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3). +=-,∴△ABC的重心是F.又 抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,∴y1+y2+y3=0.4又 点A,B在抛物线上,∴=2px1,=2px2,两式相减,得-=2p(x1-x2),∴kAB=,同理kBC=,kCA=,∴++=++==0.【答案】011.已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:-y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A,B两点,且点A的坐标为(-,1),点P是椭圆C1上异于A,B的任意一点,点Q满足·=0,·=0,且A,B,Q三点不共线.(1)求椭圆C1的方程;(2)求点Q的轨迹方程;(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.【解析】(1) 双曲线C2:-y2=1的顶点为F1(-,0),F...
