第八节正弦定理和余弦定理的实际应用A组基础题组1.已知A、B两地间的距离为10km,B、C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为()A.10kmB.10❑√3kmC.10❑√5kmD.10❑√7km答案D如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,所以AC=10❑√7(km).2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(❑√3-1)mB.180(❑√2-1)mC.120(❑√3-1)mD.30(❑√3+1)m答案C如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=60❑√3m,在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+❑√3=60(2-❑√3)m,∴BC=CD-BD=60❑√3-60(2-❑√3)=120(❑√3-1)m.3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.10❑√2海里B.10❑√3海里C.20❑√3海里D.20❑√2海里答案A如图所示,易知在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得BCsin30°=ABsin45°,解得BC=10❑√2海里.4.地面上有两座相距120m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50m,100mB.40m,90mC.40m,50mD.30m,40m答案B设高塔高Hm,矮塔高hm,在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα=H120,tanα2=h120,根据三角函数的倍角公式有H120=2×h1201-(h120)2.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π2-β.由tanβ=H60,tan(π2-β)=h60,得H60=60h.②联立①②解得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40m,90m.5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A.5❑√6B.15❑√3C.5❑√2D.15❑√6答案D在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得BCsin30°=CDsin135°,所以BC=15❑√2.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15❑√2×❑√3=15❑√6.故选D.6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为海里/小时.答案17❑√62解析如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.在△PMN中,MNsin120°=PMsin45°,∴MN=68×❑√32❑√22=34❑√6海里.又由M到N所用的时间为14-10=4小时,∴此船的航行速度v=34❑√64=17❑√62海里/小时.7.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距m.答案10❑√3解析由题意画示意图,如图,OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=❑√33×30=10❑√3(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=❑√900+300-2×30×10❑√3×❑√32=❑√300=10❑√3(m).8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ=.答案❑√3-1解析由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由三角形内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,在△ABD中,根据正弦定理可得50sin30°=DBsin15°,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=25❑√2×(❑√3-1),则在△BCD中,由正弦定理得25sin45°=25❑√2×(❑√3-1)sin(90°+θ),即25sin45°=25❑√2×(❑√3-1)cosθ,解得cosθ=❑√3-1.9.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高MN.解析由题意得,AC=❑√2BC=100❑√2m.在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得ACsin45°=AMsin60°⇒AM=100❑√3m.在△AMN中,MNAM=sin60°,所以MN=100❑√3×...
