2016-2017学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法1比较法、综合法与分析法课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．设02＝>，∴只需比较1＋x与的大小．∵1＋x－＝＝－<0，∴1＋x<.答案：C2．已知a，b，c，d∈{正实数}且<，则()A.<2，x∈R，P＝a＋，Q＝x2－2，则P，Q的大小关系为()A．P≥QB．P>QC．P2，∴a－2>0，P＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.又Q＝x2－2≤－2＝4.∴P≥Q.答案：A4．已知a，b∈R，则“a＋b>2，ab>1”是“a>1，b>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵a>1，b>1⇒a＋b>2，ab>1a＋b>2，ab>1⇒/a>1，b>1举例说明a＝3，b＝.答案：B二、填空题15．设a>b>0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是x________y.解析：∵a>b>0，∴x－y＝－－(－)＝－＝<0.答案：<6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C＝90°，则的取值范围是________．解析：由题意知c2＝a2＋b2≥2ab，即≤.∴＝＝≤.(当且仅当a＝b时取等号)．又三角形中a＋b>c.∴1<≤.答案：(1，]三、解答题7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.8．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2.求证：＋≥1.解答：证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a2(b＋1)＋b2(a＋1)≥(a＋1)(b＋1)，即a2b＋a2＋ab2＋b2≥ab＋a＋b＋1.等价于a2＋b2＋ab(a＋b)≥ab＋a＋b＋1，将a＋b＝2代入，只需要证明a2＋b2＋ab＝(a＋b)2＝4≥ab＋3，即ab≤1.而由已知a＋b≥2，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．另证：因为a，b都是正实数，所以＋≥a，＋≥b.两式相加得＋＋＋≥a＋b，因为a＋2＝2，所以－≥1.9．设a，b，c是不全相等的正实数．求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：方法一：要证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc只需证：lg＞lg(abc)只需证：··＞abc∵≥＞0，≥＞0，≥＞0，∴··≥abc＞0成立．∵a，b，c为不全等的正数，∴上式中等号不成立．∴原不等式成立．方法二：∵a，b，c∈{正实数}，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，又∵a，b，c为不全相等的实数，∴··＞abc，2∴lg＞lg(abc)，即lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.3
