第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1根式与分数指数幂1.了解指数函数模型的背景、实用性和必要性.2.了解根式的概念及其表示方法.3.理解根式的运算性质.根式根指数被开方数1.根式的概念.(1)a的n次方根:如果________,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.当n是奇数时,a的n次方根表示为________,a∈________;当n是偶数时,a的n次方根表示为________,a∈________.(2)根式:式子na叫做________,这里n叫做________,a叫做____________.xn=aR±na[0,+∞)na(1)0n=________(n∈N*,且n>1).(2)(na)n=________(n∈N*,且n>1).(3)nna=________(n为大于1的奇数).(4)nna=______=a≥0,a<0(n为大于1的偶数).练习2:33(7)=________;44(2)=________.练习1:8的3次方根是______,16的4次方根是______.2.根式的性质.2±20aa|a|a-a2-7练习3:329=______;238=______;320=______.3.分数指数幂的意义.(3)0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂等于____________.0没有意义270(1)mna=________(a>0,m,n∈N*,且n>1).(2)mna=1mna=________(a>0,m,n∈N*,且n>1).nma1nma141.(±2)2=4,那么±2就叫做4的____________;33=27,那么3就叫做27的____________;(±3)4=81,那么±3就叫做81的____________.依此类推,若xn=a,那么x叫做a的____________.二次方根立方根四次方根n次方根2.计算(3)2,334,(2)nn.从特殊到一般,思考(na)n,nna的结果?答案:(3)2=3,334=4,(2)nn=2.(na)n=a.当n是奇数时,nna=a;当n是偶数时,nna=|a|=aa≥0,-aa<0.题型1根式的求值、化简例1:求下列各式的值:(1)33(2);(2)-92;(3)(55)5;(4)x2+2xy+y2.思维突破:运用根式的性质及运算公式计算.自主解答:(1)33(2)=-2.(2)-92=|-9|=9.(3)(55)5=2.(4)x2+2xy+y2=x+y2=|x+y|=x+yx+y≥0,-x-yx+y<0.【变式与拓展】1.求下列各式的值:(1)33(16);(2)66(3);(3)3.14-π2+3.14+π2.解:(1)33(16)=-16.(2)66(3)=|-3|=3.(3)3.14-π2+3.14+π2=|3.14-π|+|3.14+π|=2π.2.化简:(1)44()mn+33()mn;(2)5+26+7-43.解:(1)原式=|m-n|+(m-n)=2m-nm≥n,0m6123>311.当根指数相同时,不论根指数是奇数还是偶数,根式的大小取决于被开方数的大小.【变式与拓展】3.比较2,33,66的大小.解:∵2=632=68,33=623=69,又∵6<8<9,∴66<68<69.故66<2<33.题型3分数指数幂与根式的互化例3:将下列分数指数幂化为根式(其中a>0):(1)435;(2)122;(3)32a;(4)52a.思维突破:根据分数指数幂的意义计算.自主解答:(1)435=345.(2)122=22.(3)32a=a3.(4)52a=1a5.【变式与拓展】4.将下列分数指数幂化为根式:(1)152;(2)1312;(3)233.解:(1)152=52.(2)1312=132=32.(3)233=323.例4:求值:24(9).试解:24(9)=249=443=3.易错点评:常见错误为24(9)=24(9)=12(9).根式转化为分数指数幂时,底数不能为负数,题中-9<0,故结果没有意义.1.理解n次方根及根式的概念.(1)正数a的偶次方根有两个,记为±na;实数a的奇次方根有一个,记为na.(2)对于根式na,若n为大于1的偶数,则a≥0.(3)对于根式nna,在化简时,要注意n的奇偶性及a的正负,即nna=an为奇数,|a|n为偶数.2.分数指数幂.(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量,只是形式不同.(3)有理数包括整数和分数,由整数指数幂扩充到分数指数幂后,指数概念就扩充到了有理数指数幂.(1)分数指数幂mna不能理解为mn个a相乘.