3.1.1变化率问题VIP免费

普通高中课程标准实验教科书（A版）导数及其应用1.1变化率与导数早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。背景介绍背景介绍微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。函数微积分（牛顿，莱布尼兹）•一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;•二、求曲线的切线;•三、求已知函数的最大值与最小值;•四、求长度、面积、体积和重心等。•导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球体积增加量相同，相应半径增加量越来越小即vr越来越小气球膨胀率一、平均变化率•气球的体积V(单位:L)与半径r•(单位:dm)之间的函数关系是34()3Vrr•如果将半径r表示为体积V的函数,那么33()4VrV•当V从0增加到1时,气球半径增加了•气球的平均膨胀率为•当V从1增加到2时,气球半径增加了•气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.62>0.16所以气球半径增加得越来越慢P3思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV用气球半径的平均变化率气描述球的平均膨胀率运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.（1）用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态；00.52:ttv和1时的平均速度hto•问题2高台跳水求2121tthhvhtoh(t)=-4.9t2+6.5t+10运动员在时间21,tt内的高度的平均变化率为即平均速度①12t②65049t(2)(1)8.2(/)21hhvms65()(0)490(/)65049hhvms上述问题中的变化率可用式子表示平均变化率:若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)121)()fxxx2f(x称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率121)()fxxx2f(xxxf)(则平均变化率为（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？书3探究（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？书3探究4965,0t0v平均速度不能反映他在这段时间里运动状态应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态瞬时速度问题2如何求运动员在某个时刻的瞬时速度？（例如这个时刻）2t-0.01-13.051-13.1490.01-0.001-13.0951-13.10490.001-0.0001-13.09951-13.100490.0001-0.00001-13.099951-13.1000490.00001-0.000001-13.0999951-13.10000490.000001…………2224.913.14.913.1(2)2hthttvttttvvt<0时，2+<2>0时，+2>2tttt表示为：时刻的瞬时速度于就趋近时，平均速度，当.202tvtt表示为：时刻的瞬时速度于就趋近时，平均速度，当.202tvtt.2,1.13)2()2(lim0时刻的瞬时速度表示tththt.2,1.13)2()2(lim0时刻的瞬时速度表示tththt为方便表示，我们用：瞬时速度表示为：时刻的瞬时速度于就趋近时，平均速度趋近于时，当.000tvttt表示为：时刻的瞬时速度于就趋近时，平均速度趋近于时，当.000tvttt在t0时刻的瞬时速度呢？tthttht)()(lim000tthttht)()(lim000示？时的瞬时膨胀率如何表气球体积为0V示？时的瞬时膨胀率如何表气球体积为0VVVrVVrVrVV)()(limlim0000VVrVVrVrVV)()(limlim0000率为：时的...