3第6节高斯公式6.1高斯公式类似于格林公式，高斯公式给出第二类曲面积分与三重积分情形的关系．设是有界闭区域，的边界取外侧称为的正向边界，记为。定理6.1设在有界闭区域上连续，且有连续偏导数（没有奇点），则有公式(6.1)公式(6.1)称为高斯(Gauss)公式．（怎样记住？）高斯公式的意义：一般地，右边的偏导函数比左边的原函数简单。（经）下面先给一些高斯公式的应用实例，然后再证明该公式．【例6.1】试利用高斯公式计算上一节例5.6．解用高斯公式得：．思考题:1．比较直接计算与用高斯公式计算两种办法的繁简程度．10离散数学高斯公式的证明：先证(6.2)(1)设，如图6.1所示，由所围成，的方程为，的方程为为与轴平行的柱面，为在面上的投影区域，则直接计算有:(6.3)(6.4)由(6.3),(6.4)式得(6.2)式成立．(2)对一般区域，我们可将它进行分割，使分割后的每一小块为1)中区域的形状，然后对每小块用公式(6.2)，再将各小块的公式(6.2)相加，注意在相邻小块的分界面上两次积分曲面方向相反相抵消，同样可得在上公式(6.2)成立．同理可证得:(6.5)(6.6)(6.2)，(6.5)，(6.6)式相加，即得高斯公式，证毕．1S2Szy图6.1Ox3SxyD9第1章集合【例6.2】计算积分，为上半球面的上侧．解在上添加圆盘方向向下如图6.2所示，在封闭曲面所围区域上用高斯公式得:．（为什么？）方法总结：当曲面不封闭时，为了应用高斯公式，补上简单曲面使封闭（注意方向）。1SSzy图6.2OV10离散数学【例6.3】求，为不经过原点的闭曲面的外侧．解，则有:所以(1)若不包围原点，则由高斯公式得:．(2)若所围区域含原点，则在上高斯公式条件不满足（原点是奇点）为使用高斯公式，将原点“挖掉”，在中作一圆心在原点半径为的小球面向里（为什么？），如图6.3，为所围区域，为小球面所围成的区域，曲面的方向如图6.3所示，则由高斯公式得：，故将的方程代入得，再次由高斯公式，有．方法总结：当曲面围有奇点时，为了应用高斯公式，先用一简单曲面把奇点1SSzy图6.3Ox1V2V9第1章集合围出去（注意方向）。如果要算，则用小椭球面围出原点（为什么用椭球面？）。下面是用高斯公式导出的体积的计算公式：【例6.4】试证空间区域的体积．证，故由高斯公式，有．思考题:2．计算，为球面的外侧．解由高斯公式，。6.2*曲面积分与曲面形状无关(只与曲面边界有关)的条件和曲线积分与路径无关相类似的问题是，什么条件下曲面积分与曲面形状无关而仅与曲面边界有关，有如下定理．定理6.2设是空间二维单连通区域，三元函数在内有一阶连续偏导数，则以下条件等价:(1)沿内任意闭曲面积分；(2)在内与曲面形状无关，仅由的边界唯一确定；(3)在内任意点有:证(1)，(2)的等价性易证，下面只证(1)，(3)的等价性．(3)(1)：若(3)成立，由高斯公式得:10离散数学．(1)(3)：用反证法，设在内有一点使得:，不妨设由的连续性知，存在的闭邻域，使得，于是由高斯公式得与(1)矛盾．定理证毕．9第1章集合习题11－6A类1．利用高斯公式计算曲面积分:(1)，其中为立体的表面外侧；*(2)，其中为球面的外侧；(3)，其中为上半球体，的表面外侧；(4)，为锥体的表面为此曲面外法线（外侧）方向余弦；*(5)，其中是上半球面的外侧；*(6)，其中是球面外侧在的部分．(7)，其中为上半球面的上侧．(8)，其中是由曲面与所围立体的表面外侧．*(9)，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数．(7)，其中为上半球面的上侧．解（7）补下侧。用高斯公式10离散数学2．计算曲面积分，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大于．B类1．证明:若为封闭曲面，为任何固定方向，则，其中为曲面的外法线方向；*2．证明:公式，其中是包围的曲面，为的外法线方向，，．*3．设是三维调和函数，即有连续二阶偏导数，且满足，又设为光滑闭曲面取向侧，所围区域为，证明:(1)，其中为沿的外法线方向的方向导数；(2)若在上恒为零，则在区域上也恒为零．
