第二章--整数问题VIP免费

第二章整数问题主要内容:一、数的整除二、余数问题三、奇数与偶数四、约数与倍数五、质数与合数第一节数的整数对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时称a是b的倍数，b是a的约数，并记作整数的整除性质：1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.数的整除特征：1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.问题2.1.1四位数57A1能被9整除，求A.分析：四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.解：5＋7＋A＋1=A＋13. 四位数57A1能被9整除，∴A＋13应是9的倍数， 0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.故A＋13=18，∴A=18-13=5.问题2.1.2六位数a8919b能被33整除，求a与b.分析：此六位数应同时是3与11的倍数.解：33=3×11.a8919b 能被33整除，∴a8919b同时是3与11的倍数.故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a-b应是11的倍数.∴a-b=2.故a-b是偶数. a+b与a-b同为奇数或同为偶数，∴a+b为偶数. 27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数. a≠0，∴a＋b≠0. a－b=2，∴a+b≠18.故a＋b=6或12.又a-b=2，∴a=4，b=2或a=7，b=5.问题21.3在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.分析：根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.解：设所求的六位数为568abc.568abc能被5整除，∴c=0或5. 568abc能被4整除，∴c=0.要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20. 568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.要使568abc尽可能地小，故a=0.所以，所求的六位数为568020.问题2.1.4从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？分析：能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.解：因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.故所求的三位数为570或750，共2个.问题2.1.5有72名学生，共交课间餐费a527b分，每人交了多少元？分析：先求a和b代表的数字.解：显然a527b为72的倍数.因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.因此，a527b=25272.25272÷72=351（分）.答：每人交了3.51元.思考题1.用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？2.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？3.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？第二节余数问题两个整数在作除法运算时，被除数和除数之间的关系不全是整除的关系.如果a是整数，b是一个自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r＜b）.当r=0时，则称a被b整除.当r≠0时，r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商，r/b叫做a除以b的尾数.如果a、b两个整数除以自然数m后所得的余数相同，就称a、b对于模m同余.记作a≡b（modm）.同余有下面的一...