限时集训(二十四)平面向量的概念及其线性运算(限时：60分钟满分：110分)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则＋＝________.3．(2013·镇江模拟)已知向量p＝＋，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是________．4．已知四边形ABCD中，＝，||＝||，则这个四边形的形状是________．5.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为________．6．(2012·徐州期中)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋＝________.7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.9．(2013·淮安期中)设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.10．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ＝λCM时，＝，试确定λ的值．12．(满分14分)已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，.13.(满分16分)设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．14．(满分16分)设点O在△ABC内部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面积与△OBC的面积之比．答案[限时集训(二十四)]1．解析：∵＝－＝a－b，又＝3，∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.答案：a＋b2.解析：如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.答案：03．解析：与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]．答案：[0,2]4．解析：由＝可知AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形．由||＝||知对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形．答案：矩形5．解析：(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案：6．解析：由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，答案：－7．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b8．解析：∵＝＋，＝＋，∴λ＝λ＋λ.＝＋，∴μ＝μ＋μ，∴＝＋＝＋，则∴λ＋μ＝.答案：9．解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4.答案：±410．解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝，因为AD为中线，则＋＝2＝3，所以m＝3.答案：311．解：∵＝－＝(M＋)＝，又＝－＝＋λ，∵＝，∴＋λ＝，即λ＝(－)＝.∴λ＝.12．解：∵＝－＝－a，＝－＝－b，又3＋4＋5＝0.∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝a＋b.设＝t(t∈R)，则＝ta＋tb.①又设＝k(k∈R)，由＝－＝b－a，得＝k(b－a)．而＝＋＝a＋.∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，②由①②得解得t＝.代入①得＝a＋b.∴＝a＋b，＝a＋b.13．解：(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，∴＝＋＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－，∴与共线．又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得解得λ＝，k＝.14．解：取BC的中点D，连结OD，则＋＝2，又4＝－(＋)＝－2，即＝－，∴O、A、D三点共线，且||＝2||，∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2.
