14.3因式分解14.3.1提取公因式法整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=(x+1)(x-1)=x2+xx2-1a(b+c)=(a+b)(a-b)=(x+y)2=ab+aca2-b2x2+2xy+y2请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=______;(2)x2–1=________.x(x+1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.(3)ab+ac(4)5x2-2x2(5)a2-b2=a(b+c)=(a+b)(a-b)=(5-2)x2x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形可以看出,因式分解与整式乘法的关系:练习一理解因式分解判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y);(2)2x(x-3y)=2x2-6xy(3)(5a-1)2=25a2-10a+1;(4)x2+4x+4=(x+2)2;(5)(a-3)(a+3)=a2-9(6)m2-4=(m+2)(m-2);(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:ma+mb+mc=它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的观察:ma+mb+mc公因式提公因式法一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式,这种分解因式的方法叫做m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析:找公因式1.系数的最大公约数42.找相同字母ab3.相同字母的最低指数a1b2公因式为:4ab2【解析】8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).【例题】找公因式方法一看系数二看字母三看指数注意:各项系数都是整数时,因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.说出下列多项式各项的公因式:(1)ma+mb;(2)4kx-8ky;(3)5y3+20y2;(4)a2b-2ab2+ab.m4k5y2ab练习二理解公因式动手试一试你会了吗?把下列各式用提公因式法因式分解(4)3mx-6my;(5)x2y+xy2;(6)2a2b3-8a3b2-16ab4.(1)ma+mb;(2)4kx-8ky;(3)5y3+20y2;练习三:理解提公因式【解析】a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).【例2】把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.例3把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:这个式子的公因式是(b+c),可以直接提出.解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3).把下列各式分解因式:1.a(x-y)+b(y-x);分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)互为相反数,“”如果把其中一个提取一个-号,则可以出现公因式,如:y-x=-(x-y)【解析】a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).【跟踪训练】【解析】6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2).2.6(m-n)3-12(n-m)21.填空“请在下列各式等号右边的括号前填入+”“”或-号,使等式成立:(1)2-a=______(a-2);(2)y-x=_____(x-y);(3)b+a=______(a+b);(4)(b-a)2=_____(a-b)2;(5)-m-n=_____(m+n);(6)-s2+t2=_____(s2-t2).--++--1.(苏州·中考)分解因式a2-a=.【解析】a2-a=a(a-1).答案:a(a-1)22a4a______.22a4a2a(a2)2.(盐城·中考)因式分解【解析】用提公因式法因式分解:答案:2a(a-2)直击中考把下列各式分解因式:1.2a-4b;2.ax2+ax-4a;3.3ab2-3a2b;4.2x3+2x2-6x;5.7x2+7x+14;6.-12a2b+24ab2;7.xy-x2y2-x3y3;8.27x3+9x2y.练习巩固练习四:巩固与提高1.把下列各式分解因式:(1)8m2n+2mn;(2)12xyz-9x2y2;(3)2a(y-z)-3b(z-y);(4)p(a2+b2)-q(a2+b2).2.先分解因式,再求值:4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.3.计算5×34+24×33+63×32.4.把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c)分解因式.课堂小结x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.1.因式分解与整式乘法的关系:在ma+mb+mc中,各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.2.公因式:3.提公因式法:在多项式中,把各项都有的公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.动手试一试:你会把下列的多项式写成因式的乘积的形式吗?(1)ab+ac;(2)5x2-2x2;(3)a2-b2;(利用乘法的分配律)(利用乘法的分配律)(利用平方差公式)a(b+c)(a+b)(a-b)(5-2)x2