14.3因式分解14.3.1提取公因式法整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=(x+1)(x－1)=x2+xx2－1a(b+c)=(a+b)(a－b)=(x+y)2=ab+aca2－b2x2+2xy+y2请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=______;(2)x2–1=________.x(x+1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.(3)ab+ac(4)5x2－2x2(5)a2－b2=a(b+c)=(a+b)(a－b)=(5－2)x2x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形可以看出，因式分解与整式乘法的关系：练习一理解因式分解判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:ma+mb+mc=它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的观察：ma+mb+mc公因式提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种分解因式的方法叫做m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系数的最大公约数42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指数a1b2公因式为：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).【例题】找公因式方法一看系数二看字母三看指数注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.m4k5y2ab练习二理解公因式动手试一试你会了吗？把下列各式用提公因式法因式分解(4)3mx-6my；(5)x2y+xy2；(6)2a2b3－8a3b2－16ab4.(1)ma+mb；(2)4kx－8ky；(3)5y3+20y2；练习三：理解提公因式【解析】a（x－3）+2b（x－3）=(x－3)(a+2b).【例2】把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因此可以把(x－3)作为公因式提出来.例3把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:这个式子的公因式是(b+c),可以直接提出.解:2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a-3).把下列各式分解因式:1.a（x－y）+b（y－x）;分析：虽然a（x－y)与b(y－x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y)与(y－x）互为相反数，“”如果把其中一个提取一个－号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y）【解析】a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）.【跟踪训练】【解析】6（m－n）3－12（n－m）2=6（m－n）3－12［－（m－n）］2=6（m－n）3－12（m－n）2=6（m－n）2（m－n－2）.2.6（m－n）3－12（n－m）21.填空“请在下列各式等号右边的括号前填入+”“”或－号，使等式成立:（1）2－a=______（a－2）;（2）y－x=_____（x－y）;（3）b+a=______（a+b）;（4）（b－a）2=_____（a－b）2;（5）－m－n=_____（m+n）;（6）－s2+t2=_____（s2－t2）.--++--1.（苏州·中考）分解因式a2－a=．【解析】a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)22a4a______.22a4a2a(a2)2.（盐城·中考）因式分解【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)直击中考把下列各式分解因式：1．2a－4b;2．ax2+ax－4a;3．3ab2－3a2b;4．2x3+2x2－6x;5．7x2+7x+14;6．－12a2b+24ab2;7．xy－x2y2－x3y3;8．27x3+9x2y．练习巩固练习四:巩固与提高1.把下列各式分解因式:(1)8m2n+2mn;(2)12xyz-9x2y2;(3)2a(y-z)-3b(z-y);(4)p(a2+b2)-q(a2+b2).2.先分解因式,再求值:4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.3.计算5×34+24×33+63×32.4.把(a+b－c)(a－b+c)+(b－a+c)(b－a－c)分解因式.课堂小结x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.1.因式分解与整式乘法的关系：在ma+mb+mc中，各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.2.公因式：3.提公因式法：在多项式中，把各项都有的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.动手试一试：你会把下列的多项式写成因式的乘积的形式吗？(1)ab+ac；(2)5x2－2x2；(3)a2－b2；（利用乘法的分配律）（利用乘法的分配律）（利用平方差公式）a(b+c)(a+b)(a－b)(5－2)x2
