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5三角形内角和定理第七章定义与命题第2课时三角形的外角知识目标目标突破第七章定义与命题总结反思知识目标第2课时三角形的外角通过三角形内角和定理推导出关于三角形外角的两个定理，并能运用这两个定理进行简单的计算和证明．目标突破目标会运用三角形外角的性质进行计算和证明第2课时三角形的外角例1教材补充例题如图7－5－5所示，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠C＝70°，AF平分∠BAC，BF平分外角∠CBE，AF交BC于点D.(1)求∠BDA和∠F的度数；(2)探究∠F与∠C的关系．图7－5－5第2课时三角形的外角[解析]运用角平分线的定义可得∠CAD＝∠CAB＝20°，再由三角形外角的性质可得∠BDA的度数，再求出∠CBF的度数，利用△BDF的外角∠BDA可求得∠F的度数．第2课时三角形的外角解：(1)∵AF平分∠BAC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝12∠BAC＝20°.又∵∠C＝70°，∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝90°.∵∠CBE＝∠C＋∠BAC＝110°，BF平分∠CBE，∴∠CBF＝12∠CBE＝55°，∴∠F＝∠BDA－∠CBF＝35°.(2)∠C＝2∠F.第2课时三角形的外角【归纳总结】三角形内、外角平分线的夹角的基本图形如图7－5－6，若BO，CO都是相应角的平分线，则：①∠BOC＝90°＋12∠A；②∠BOC＝12∠A；③∠BOC＝90°－12∠A.图7－5－6第2课时三角形的外角解：∠1＝∠2，理由：∵∠CDG＝∠B(已知)，∴DGBA(∥同位角相等，两直线平行)，∴∠1＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)．∵ADBC⊥，EFBC(⊥已知)，∴∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)，∴ADEF(∥同位角相等，两直线平行)，∴∠2＝∠BAD(两直线平行，同位角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．第2课时三角形的外角[备选例题]如图所示，已知BD为△ABC中∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD交于点D.求证：∠A＝2D.∠[解析]这里的∠D不是△ABC的内角或外角，但∠A是△ABC的内角，因此要找到∠D与△ABC的内角之间的关系．根据三角形外角的性质，不难发现∠D＝∠1－∠2，而∠1＝12∠ACE，∠2＝12∠ABC，这样就在∠D与△ABC的内角之间建立了联系．第2课时三角形的外角证明：∵BD是∠ABC的平分线(已知)，∴∠ABC＝22(∠角平分线的定义).同理，∠ACE＝21.∠∵∠A＝∠ACE－∠ABC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)＝21∠－22(∠等量代换)＝2(1∠－∠2)，∠D＝∠1－∠2(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∴∠A＝2D(∠等量代换)．第2课时三角形的外角例2[教材例3针对训练]如图7－5－7，已知△ABC中，∠BAC＝90°，ADBC⊥于点D，E是AD上一点．求证：∠BED>C.∠图7－5－7第2课时三角形的外角证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°.∵ADBC⊥，∴∠ADB＝90°，∴∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD.∵∠BED>BAD(∠三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BED>C.∠第2课时三角形的外角【归纳总结】证明角的不等关系的方法：证明角的不等关系，通常利用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一定理．当角不具备这种关系时，可借助辅助线或中间量将它们分别转化为三角形的外角和与它不相邻的内角．总结反思知识点一三角形的外角的概念小结第2课时三角形的外角三角形内角的一条边与另一条边的______________组成的角，称为三角形的外角．反向延长线第2课时三角形的外角知识点二三角形外角的性质(1)三角形的一个外角________和它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角________任何一个和它不相邻的内角．由一个________或________直接推出的________，叫做这个基本事实或定理的________．________可以当做定理使用．等于大于基本事实定理定理推论推论反思第2课时三角形的外角如图7－5－8，已知五角星ABCDE，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．图7－5－8解：∵∠1是△CEF的外角，∴∠1＝∠C＋∠E，同理∠2＝∠B＋∠D.又∵∠A＋∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答过程．第2课时三角形的外角【答案】不正确．本题考查外角的性质，找准三角形的外角是解题关键．本题中∠1应是△BDG的外角，∠2应是△CEF的外角．正解：∵∠1是△BDG的外角，∴∠1＝∠B＋∠D，同理∠2＝∠C＋∠E.∵∠A＋∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.