1.3.2球的体积和表面积一、基础达标1．(2014·临沂高一检测)设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.43πB.8π3C．43πD．323π答案C解析由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.设正方体外接球的半径为R，则3a＝2R，∴R＝3，∴V球＝43πR3＝43π.2．(2014·义乌高一检测)一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A．8B．82C．83D．42答案A解析 球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝43.∴正方体的表面积为6a2＝6×43＝8.3．(2014·十堰高一检测)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.92π＋12B.92π＋18C．9π＋42D．36π＋18答案B解析由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V＝32×2＋43π323＝18＋92π.4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A．1∶3B．1∶3C．1∶33D．1∶9答案C解析设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求的比为1∶33.5．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是()A.100π3cm3B.208π3cm3C.500π3cm3D.41613π3cm3答案C解析根据球的截面性质，有R＝r2＋d2＝32＋42＝5，∴V球＝43πR3＝5003π(cm3)．6．(2013·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．答案3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长．设正方体棱长为a，球半径为R，则43πR3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a＝3.7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝24π3×523＝125π3(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.二、能力提升8．(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3答案A解析利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝43π×53＝5003π(cm3)．9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.10.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.答案4解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．解 AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.因球心O到截面△ABC的射影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝OO′OC＝12，∴∠O′CO＝30°，∴rR＝cos30°＝32，即R＝23r，①又2r＝AC＝30?r＝15，代入①得R＝103.∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(103)2＝1200π.球的体积为V＝43πR3＝43π(103)3＝40003π.三、探究与创新12.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表...
