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数学竞赛之平面几何VIP免费

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第一部分【几个著名定理】1.梅涅劳斯(Menelauss)定理设ABC的边AB,BC,CA或其延长线分别交于点RQP,,,且有奇数个点在边的延长线上(如图)则P,Q,R三点共线的充要条件是:1RACRQCBQPBAP。2.塞瓦定理:1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP三线共点的充要条件是、、则上,且有偶数个点在延长线边上的点,、、的分别是、、设QRPABCQRPABC3.托勒密定理:定理:四边形ABCD中,有:AB·CD+AD·BCAC·BD并当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等号成立。CBAD4.西姆松定理:P是ΔABC的外接圆⊙O上的任意一点,PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥CA,垂足为E、D、F,则E、D、F三点共线.西姆松的逆定理:从一点P向ABC的三边(或延长线)作垂线,若其垂足L,M,N在同一直线上,则点P在ABC的外接圆上。例1.以△ABC的底边BC为直径作半圆,分别与AB、AC交于点D和E,分别过D、E作BC的垂线,垂足依次为F、G,线段DG和EF交于点M,求证:AM⊥BC(IMO-37国家队选拔题)MABC证法一:设直线AM与BC交于H,连结BE,CD,则知∠BEC=∠BDC=090,直线FME与△ACH相截,直线GMD与△ABH相截,由梅氏定理得:1EACEFCHFMHAM,1DABDGBHGMHAM两式相除得DABDBGAECECFHGFH在Rt△DBC与Rt△EBC中,有FCBCCD2,BGBCBE2即22BECDBGCF,代入上式得ADBDCEAEBECDHGFH22又ABE∽ACD,有BECDAEAD代入上式得CEBDBECDHGFH=EBCDBCSS=MGDMEGDF,从而MH//DF,而DF⊥BC,则MH⊥BC,故AM⊥BCBCADEFGMH证法二:作高AH,连BE,CD,则∠BEC=∠BDC=090于是BBBCBBDDFsincossin,CCBCEGsincos所以CBABACCCBBMGDMEGDFcoscoscossincossin又CAEHGBABBHcos,cos所以CADBACCAEBABHGBHcoscoscoscos即ADABMGDMACABMGDMADACHGBH故1ABDAMDGMHGBH对△BDG应用梅氏定理逆定理,知H,M,A三点共线由AH⊥BC,故AM⊥BC例2.如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N是垂足),延长AE交三角形ABC的外接圆于D.证明:四边形AMDN与三角形ABC的面积相等.ABCDEFMN证明:设∠BAE=∠CAF=,∠EAF=则)sin(21sin21ANADADAMSAMDN=)sin(cossin)cos([21AFAFAD=BCADRAFAFAD4)2sin(21sin21)sin(21AFACAFABSABC)(4BDACCDABRAF由托勒密定理可知:BCADBDACCDAB,故结论成立。例3.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上已知:四条直线AB,BC,CD,DA中,AB交CD于点E,BC交AD于点F求证:ADE,ABF,BCE,CDF的外接圆相交于一点,且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。CAEFDB在同一条直线上、、、故在一条直线上,、、在一条直线上,、、由西姆松定理可知,、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆、圆、圆圆也过点同理圆过点,即圆的另一个交点为与圆圆,于点交,于点交中,、、、线证明:如图,设四条直PNMLPNMNMLPNMLEDACDBCABGGAEDABFCDFBCEGAEDGABFABGFCDABECCGFBGCBGFGCDFBCEFADBCECDABADCDBCAB180例4.若两个三角形的对应顶点的连线交于一点,则对应边所在的直线交点必共线。(笛沙格定理)已知:若△A1B1C1与△A2B2C2的对应顶点连线A1A2、B1B2、C1C2相交于一点O,则对应边B1C1与B2C2的交点K、C1A1与C2A2的交点L、A1B1与A2B2的交点M共线。K证明:观察三角形C1B1O,可以看出,K、B2、C2分别在C1B1、B1O、OC1或其延长线上,且B2、K、C2三点共线,根据梅涅劳斯定理可得:112222111CCOCOBBBKBKC同理:观察三角形OB1A1,根据梅涅劳斯定理可得:112222111AAOAOBBBLBLA观察三角形OA1C1,根据梅涅劳斯定理可得:112222111CCOCOAAAMAMC以上三式相乘得:1111111MCMALALBKBKC可以看到,在三角形B1A1C1中,L、K、M分别在A1B1、B1C1、C1A1或其延长线上,根据梅氏定理的逆定理,可判断L、K、M共线...

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