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第一部分【几个著名定理】1．梅涅劳斯（Menelauss）定理设ABC的边AB，BC，CA或其延长线分别交于点RQP,,，且有奇数个点在边的延长线上（如图）则P，Q，R三点共线的充要条件是：1RACRQCBQPBAP。2.塞瓦定理：1:RBARQACQPCBPCRBQAPABCABCABCRQP三线共点的充要条件是、、则上，且有偶数个点在延长线边上的点，、、的分别是、、设QRPABCQRPABC3.托勒密定理：定理：四边形ABCD中，有：AB·CD+AD·BCAC·BD并当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等号成立。CBAD4.西姆松定理：P是ΔABC的外接圆⊙O上的任意一点，PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥CA，垂足为E、D、F，则E、D、F三点共线．西姆松的逆定理：从一点P向ABC的三边（或延长线）作垂线，若其垂足L，M，N在同一直线上，则点P在ABC的外接圆上。例1．以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E，分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G，线段DG和EF交于点M，求证：AM⊥BC（IMO-37国家队选拔题）MABC证法一：设直线AM与BC交于H，连结BE，CD，则知∠BEC=∠BDC=090，直线FME与△ACH相截，直线GMD与△ABH相截，由梅氏定理得：1EACEFCHFMHAM，1DABDGBHGMHAM两式相除得DABDBGAECECFHGFH在Rt△DBC与Rt△EBC中，有FCBCCD2，BGBCBE2即22BECDBGCF，代入上式得ADBDCEAEBECDHGFH22又ABE∽ACD，有BECDAEAD代入上式得CEBDBECDHGFH=EBCDBCSS=MGDMEGDF，从而MH//DF，而DF⊥BC，则MH⊥BC，故AM⊥BCBCADEFGMH证法二：作高AH，连BE，CD，则∠BEC=∠BDC=090于是BBBCBBDDFsincossin，CCBCEGsincos所以CBABACCCBBMGDMEGDFcoscoscossincossin又CAEHGBABBHcos,cos所以CADBACCAEBABHGBHcoscoscoscos即ADABMGDMACABMGDMADACHGBH故1ABDAMDGMHGBH对△BDG应用梅氏定理逆定理，知H，M，A三点共线由AH⊥BC，故AM⊥BC例2.如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．ABCDEFMN证明：设∠BAE=∠CAF=，∠EAF=则)sin(21sin21ANADADAMSAMDN=)sin(cossin)cos([21AFAFAD=BCADRAFAFAD4)2sin(21sin21)sin(21AFACAFABSABC)(4BDACCDABRAF由托勒密定理可知：BCADBDACCDAB，故结论成立。例３.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上已知：四条直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ中，ＡＢ交ＣＤ于点Ｅ，ＢＣ交ＡＤ于点Ｆ求证：ADE，ABF，BCE，CDF的外接圆相交于一点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。CAEFDB在同一条直线上、、、故在一条直线上，、、在一条直线上，、、由西姆松定理可知，、、、、所作垂线的垂足分别为、、、向若点交于同一点、圆、圆、圆圆也过点同理圆过点，即圆的另一个交点为与圆圆，于点交，于点交中，、、、线证明：如图，设四条直PNMLPNMNMLPNMLEDACDBCABGGAEDABFCDFBCEGAEDGABFABGFCDABECCGFBGCBGFGCDFBCEFADBCECDABADCDBCAB180例4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）已知：若△A1B1C1与△A2B2C2的对应顶点连线A1A2、B1B2、C1C2相交于一点O，则对应边B1C1与B2C2的交点K、C1A1与C2A2的交点L、A1B1与A2B2的交点M共线。K证明：观察三角形C1B1O，可以看出，K、B2、C2分别在C1B1、B1O、OC1或其延长线上，且B2、K、C2三点共线，根据梅涅劳斯定理可得：112222111CCOCOBBBKBKC同理：观察三角形OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得：112222111AAOAOBBBLBLA观察三角形OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得：112222111CCOCOAAAMAMC以上三式相乘得：1111111MCMALALBKBKC可以看到，在三角形B1A1C1中，L、K、M分别在A1B1、B1C1、C1A1或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判断L、K、M共线...