1导数解答题专题训练1.已知函数()1axx，a为正常数．（1）若()ln()fxxx，且92a，求函数()fx的单调增区间；（2）若()|ln|()gxxx，且对任意12,(0,2]xx，12xx，都有2121()()1gxgxxx，求a的的取值范围．解：⑴2221(2)1'()(1)(1)axaxfxxxxx，…2分[来源:Zxxk.Com] 92a，令'()0fx，得2x，或12x，∴函数()fx的单调增区间为1(0,)2，(2,)。6分⑵ 2121()()1gxgxxx，∴2121()()10gxgxxx，∴221121()[()]0gxxgxxxx，设()()hxgxx，依题意，()hx在0,2上是减函数。9分当12x时，()ln1ahxxxx，21'()1(1)ahxxx，令'()0hx，得：222(1)1(1)33xaxxxxx对[1,2]x恒成立，设21()33mxxxx，则21'()23mxxx， 12x，∴21'()230mxxx，∴()mx在[1,2]上是增函数，则当2x时，()mx有最大值为272，∴272a。12分当01x时，()ln1ahxxxx，21'()1(1)ahxxx，令'()0hx，得：222(1)1(1)1xaxxxxx，设21()1txxxx，则21'()210txxx，∴()tx在(0,1)上是增函数，∴()(1)0txt，∴0a，15分综上所述，272a.16分2.已知函数，其中ｅ是自然数的底数，．（1）当时，解不等式；（2）当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；（3）若在［－１，１］上是单调增函数，求的取值范围．解：⑴因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．………………………………………4分⑵当时,方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，……………………………6分又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．……………………………………………8分⑶，①当时，，在上恒成立，当且仅当时2取等号，故符合要求；………………………………………………………10分②当时，令，因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，因此有极大值又有极小值．若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调．………………………………………………………12分若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以.--------------------------14分综上可知，的取值范围是．………………………………………16分3．设函数在处取得极值．（1）设点，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；（3）设曲线在点，()处的切线都过点，证明：．解：（1），由题意可得，，解得经检验，在处取得极大值。………………………2分设切点为，则切线方程为即为……………………………………………………3分把代入可得，即为∴，即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.切线方程为………………………………………………………5分（2）因为切线方程为把代入可得，因为有三条切线，故方程有三个不同的实根.………………………6分设，令=0，可得和+0一0+增极大值减极小值增因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以………………10分（3）假设，则，所以…………11分由题意可得两式相减可得因为，故把代入可得，所以所以……………………………………………………………………………14分又由，矛盾。所以假设不成立，即证………16分4．记函数的导函数为，已知．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以3证明．解：（Ⅰ），由得．…………………3分（Ⅱ），，………………5分 ，令得，当时，，是增函数；当时，，是减函数．∴当时，有极小值，也是最小值，，……7分当时，；当时（可取体验），．当时，，函数有两个零点；当时，，函数有两个零点；当时，，函数有且只有一个零点，综上所述，存在使得函数有且只有一个零点．…………………9分（Ⅲ）， ，∴，得，…………………11分则，...
