江苏省扬中高级中学2015届高三数学（文）教学案向量的概念及其线性运算0924【学习目标】1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示2、掌握向量的加法与减法、数乘的运算，并理解其几何意义3、了解平面向量的基本定理及意义【重要知识】1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫作向量的(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意记作0单位向量长度为的向量非零向量a的单位向量为±平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线，则称这两个向量平行或共线0与任一向量或共线相等向量长度相等且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求两个向量差的运算三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向；当λ<0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【基础练习】1、化简：1江苏省扬中高级中学2015届高三数学（文）教学案（1）。（2）。2、D是ABC的边AB上的中点，则向量=。（用，表示）3、如图所示，已知，用、表示=。4、在中，已知D是AB边上一点，若=。5、设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．【例题选讲】例1、给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．例2、设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．2江苏省扬中高级中学2015届高三数学（文）教学案例3、已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【课堂小结】1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．【巩固练习】1．若O，E，F是不共线的任意三点，则EF可用OF与OE表示为________．2.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于________．3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．4．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则a、b、c、d四个向量满足的关系为________．5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________．6．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；3江苏省扬中高级中学2015届高三数学（文）教学案③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是________．7．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)8．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．9.已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC边分别交于M、N两点，且。10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？4
