函数模型、不等式模型及应用VIP专享VIP免费

第23讲函数模型、不等式模型及应用1.考题展望由于湖南高考突出对应用题的考查，利用函数模型结合导数解应用题是高考重点，应引起重视．不等式模型以均值不等式的使用为主，也应适当关注．2．高考真题考题1(2014北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟【解析】选B由题意得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，解之得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．【命题立意】本题主要考查二次函数解析式的求法及求二次函数的最值．考题2(2014陕西)如图所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x【解析】选A由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.又y＝ax3＋bx2＋cx过点(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝12，b＝－12，c＝－1，∴y＝f(x)＝12x3－12x2－x.【命题立意】本题考查求三次函数表达式及求函数在某点处的切线．考题3(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0，53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，故V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5,r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．【命题立意】本题为函数与导数综合问题的应用题．1．应用题的求解首先要过好“审题关”，其根本还在语文素养上，只有准确理解了题意才可能做好分析与转化．2.接着要过好“建模关”，要求熟练掌握基本的函数模型、不等式模型，设好变量，分析清楚变量之间的关系，从而选准相应的模型，解决问题．3．要注意变量在实际问题中所受的限制，并注意相关限制对模型分析的影响，从而准确求解问题．1.利用基本初等函数解决实际问题例1甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是1005x＋1－3x元．(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a5＋1x－3x2；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解析】(1)每小时生产x千克产品，获利1005x＋1－3x，生产a千克该产品用时间为ax，所获利润为1005x＋1－3x·ax＝100a5＋1x－3x2.(2)生产900千克该产品，所获利润为900005＋1x－3x2＝90000－31x－162＋6112所以x＝6，最大利润为90000×6112＝457500元．故甲厂以6千克/小时的速度生产，可获最大利润457500元．【点评】解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是...